Багатогранники, описані навколо сфери багатогранник називається описаним. Сфера і куля, матеріали і завдання Сфера вписана в трикутну призму

Багатогранники, описані навколо сфери Багатогранник називається описаним близько сфери, якщо площині всіх його граней стосуються сфери. Сама сфера називається вписаною в багатогранник. Теорема. У призму можна вписати сферу тоді і тільки тоді, коли в її основу можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цієї окружності. Теорема. У будь-яку трикутну піраміду можна вписати сферу, до того ж лише одну.

Вправа 1 Зітріть квадрат і намалюйте два паралелограма, що зображують верхню і нижню межі куба. З'єднайте їх вершини відрізками. Отримайте зображення сфери, вписаною в куб. Зобразіть сферу, вписану в куб, як на попередньому слайді. Для цього покажіть еліпс вписаний в паралелограм, отримані стисненням окружності і квадрата в 4 рази. Відзначте полюса сфери і точки дотику еліпса і паралелограма.

Вправа 4 Чи можна вписати сферу в прямокутний паралелепіпед, відмінний від куба? Відповідь: Ні.

Вправа 5 Чи можна вписати сферу в похилий паралелепіпед, всі грані якого ромби? Відповідь: Ні.

Вправа 1 Чи можна вписати сферу в похилу трикутну призму, в основі якої правильний трикутник? Відповідь: Ні.

Вправа 2 Знайдіть висоту правильної трикутної призми і радіус, вписаною в неї сфери, якщо ребро підстави призми дорівнює 1. 3 3,. 3 6 h r Відповідь:

Вправа 3 У правильну трикутну призму вписана сфера радіуса 1. Знайдіть сторону основи і висоту призми. 2, 3, 2. a h Відповідь:

Вправа 4 В призму, в основі якої прямокутний трикутник з катетами, рівними 1, вписана сфера. Знайдіть радіус сфери і висоту призми. 2 2, 2 2. 2 r h Площа трикутника ABC дорівнює, периметр Скористаємося формулою r \u003d S / p. Отримаємо 2 2. 1,

Вправа 5 В призму, в основі якої трикутник зі сторонами 2, 3, 3, вписана сфера. Знайдіть радіус сфери і висоту призми. 2, 2. 2 r h Площа трикутника ABC дорівнює Периметр дорівнює 8. Скористаємося формулою r \u003d S / p. Отримаємо 2 + 2.

Вправа 1 Сфера вписана в пряму чотирикутну призму, в основі якої ромб зі стороною 1 і гострим кутом 60 о. Знайдіть радіус сфери і висоту призми. Рішення. Радіус сфери дорівнює половині висоти DG підстави, т. Е. Висота призми дорівнює діаметру сфери, т. Е. 3. 4 r 3. 2 h

Вправа 2 Єдина сфера вписана в пряму чотирикутну призму, в основі якої ромб з гострим кутом 60 о. Знайдіть сторону основи a і висоту призми h. Відповідь 4 3, 2. 3 a h

Вправа 3 Сфера вписана в пряму чотирикутну призму, в основі якої трапеція. Висота трапеції дорівнює 2. Знайдіть висоту призми h і радіус r вписаного сфери. Відповідь: 1, 2. r h

Вправа 4 Сфера вписана в пряму чотирикутну призму, в основі якої чотирикутник, периметра 4 і площі 2. Знайдіть радіус r вписаного сфери. 1. r Рішення. Зауважимо, що радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Скористаємося тим, що радіус кола, вписаного в багатокутник, дорівнює площі цього багатокутника поділеній на його напівпериметр. отримаємо,

Вправа 1 Знайдіть висоту правильної шестикутної призми і радіус, вписаною в неї сфери, якщо сторона основи призми дорівнює 1. 3 3,. 2 h r Відповідь:

Вправа 2 У правильну шестикутну призму вписана сфера радіуса 1. Знайдіть сторону основи і висоту призми. 2, 3, 2. 3 a h Відповідь:

Вправа 1 Знайдіть радіус сфери, вписаною в одиничний тетраедр. 6. 12 r Відповідь: Рішення. У тетраедра SABC маємо: SD \u003d DE \u003d SE \u003d З подоби трикутників SOF і SDE отримуємо рівняння вирішуючи яке, знаходимо 3, 2, 3, 6 6. 3 6 3 3::, 3 6 2 r r 6. 12 r

Вправа 2 У правильний тетраедр вписана одинична сфера. Знайдіть ребро цього тетраедра. 2 6. a Відповідь:

Вправа 3 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну трикутну піраміду, сторона підстави якої дорівнює 2, і двогранні кути при основі рівні 60 о. 3 1 30. 3 3 r tg Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаною сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів при основі піраміди. Для радіуса сфери OE має місце рівність Отже,. OE DE tg O

Вправа 4 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну трикутну піраміду, бічні ребра якої рівні 1, і плоскі кути при вершині рівні 90 о. 3 3. 6 r Відповідь: Рішення. У тетраедра SABC маємо: SD \u003d DE \u003d SE \u003d З подоби трикутників SOF і SDE отримуємо рівняння вирішуючи яке, знаходимо 2, 2 6, 6 3. 3 3 6 2::, 3 6 2 r r 3 3. 6 r

Вправа 1 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні 1. 6 2. 4 r Скористаємося тим, що для радіуса r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r \u003d S / p, де S - площа , p - напівпериметр трикутника. У нашому випадку S \u003d p \u003d 3, 2 2. 2 Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE \u003d SF \u003d EF \u003d 1, SG \u003d 2, 4 Отже, 1 3.

Вправа 2 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну чотирикутну піраміду, сторона підстави якої дорівнює 1, а бічне ребро - 2. 14 (15 1). 28 r Скористаємося тим, що для радіуса r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r \u003d S / p, де S - площа, p - напівпериметр трикутника. У нашому випадку S \u003d p \u003d 15, 214. 2 Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE \u003d SF \u003d EF \u003d 1, SG \u003d 14, 4 Отже, 1 15.

Вправа 3 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну чотирикутну піраміду, сторона підстави якої дорівнює 2, і двогранні кути при основі рівні 60 о. 3 30. 3 r tg Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаною сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів при основі піраміди. Для радіуса сфери OG має місце рівність Отже,. OG FG tg OFG

Вправа 4 Єдина сфера вписана в правильну чотирикутну піраміду, сторона підстави якої дорівнює 4. Знайдіть висоту піраміди. Скористаємося тим, що для радіуса r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r \u003d S / p, де S - площа, p - напівпериметр трикутника. У нашому випадку S \u003d 2 h, p \u003d 2 4 2 h. Рішення. Позначимо висоту SG піраміди h. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SEF, в якому SE \u003d SF \u003d EF \u003d 4. 2 4, h 8. 3 h Отже, маємо рівність з якого знаходимо 2 4 2 + 2, h h

Вправа 1 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну шестикутну піраміду, у якій ребра підстави рівні 1, а бічні ребра - 2. 15 3. 4 r Скористаємося тим, що для радіуса r кола, вписаного в трикутник, має місце формула: r \u003d S / p, де S - площа, p - напівпериметр трикутника. У нашому випадку S \u003d p \u003d 3, 2 Отже, 15 3. 2 15, 2 Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник SPQ, в якому SP \u003d SQ \u003d PQ \u003d SH \u003d 3.

Вправа 2 Знайдіть радіус сфери, вписаною в правильну шестикутну піраміду, у якій ребра підстави рівні 1, і двогранні кути при основі рівні 60 о. 3 1 30. 2 2 r tg Рішення. Скористаємося тим, що центр вписаною сфери є точкою перетину біссектральних площин двогранних кутів при основі піраміди. Для радіуса сфери OH має місце рівність Отже,. OH HQ tg OQH

Вправа Знайдіть радіус сфери, вписаною в одиничний октаедр. 6. 6 r Відповідь: Рішення. Радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в ромб SES'F, в якому SE \u003d SF \u003d EF \u003d 1, SO \u003d Тоді висота ромба, опущена з вершини E, буде дорівнює Бажаємий радіус дорівнює половині висоти, і дорівнює 6. 66. 3 2 . 2, 3, 2 O

Вправа Знайдіть радіус сфери, вписаною в одиничний ікосаедр. 1 7 3 5. 2 6 r Рішення. Скористаємося тим, що радіус OA описаної сфери дорівнює а радіус AQ кола, описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною 1, дорівнює За теоремою Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника OAQ, отримаємо 10 2 5, 4 3.

Вправа Знайдіть радіус сфери, вписаною в одиничний додекаедр. 1 25 11 5. 2 10 r Рішення. Скористаємося тим, що радіус OF описаної сфери дорівнює а радіус FQ кола, описаного навколо рівностороннього п'ятикутника зі стороною 1, дорівнює За теоремою Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника OFQ, отримаємо 18 6 5, 4 5 5.

Вправа 1 Можна вписати сферу в усічений тетраедр? Рішення. Зауважимо, що центр O сфери, вписаною в усічений тетраедр повинен збігатися з центром сфери, вписаною в тетраедр, який збігається з центром сфери, полувпісанной в усічений тетраедр. Відстані d 1, d 2 від точки O до шестикутної і трикутної граней обчислюються по теоремі Піфагора: де R - радіус полувпісанной сфери, r 1, r 2 - радіуси кіл, вписаних в шестикутник і трикутник, відповідно. Оскільки r 1\u003e r 2, то d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

Вправа 2 Можна вписати сферу в усічений куб? Відповідь: Ні. Доказ аналогічно попередньому.

Вправа 3 Можна вписати сферу в усічений октаедр? Відповідь: Ні. Доказ аналогічно попередньому.

Вправа 4 Можна вписати сферу в кубооктаедр? Відповідь: Ні. Доказ аналогічно попередньому.

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються при вирішенні завдань. У підручнику С.Атанасяна і ін. По даній темі (стор. 138) можна знайти тільки визначення багатогранника, описаного близько сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаною в багатогранник, і сфери, описаної близько багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. Книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тел розглядаються при вирішенні задач № 629-646 , і звертається увага на те, що "при вирішенні того чи іншого завдання перш за все потрібно домогтися того, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених в умові тел". Далі наводиться рішення задач №638 (а) і №640.

З огляду на все вище сказане, і те, що найбільш важкими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення і повідомити їх учням.

Визначення.

1. Куля називається вписаним в багатогранник, а багатогранник описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаним близько багатогранника, а багатогранник вписаним в кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаним в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (підстави) і всіх твірних циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписане коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаним близько циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола підстав (окружність підстави і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що близько будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описана окружність більшого кола кулі).

Загальні зауваження про становище центру кулі.

1. Центр кулі, вписаного в багатогранник, лежить в точці перетину биссекторной площин всіх двогранні кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаного близько багатогранника, лежить в точці перетину площин, перпендикулярних до всіх ребрах многогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований всередині, на поверхні і поза багатогранника.

Комбінація кулі з призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Куля можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цієї окружності.

Слідство 1. Центр кулі, вписаного в пряму призму, лежить в середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Слідство 2. Куля, зокрема, можна вписати в прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якій суми протилежних сторін підстави рівні між собою) за умови Н \u003d 2r, де Н - висота призми, r - радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описаний близько призми.

Теорема 2. Куля можна описати близько призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і близько її заснування можна описати коло.

слідство 1. Центр кулі, описаного близько прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного навколо основи.

Слідство 2.Куля, зокрема, можна описати: близько прямої трикутної призми, близько правильної призми, близько прямокутного паралелепіпеда, близько прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів підстави дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).

Комбінація кулі з пірамідою.

1. Куля, описаний близько піраміди.

Теорема 3. Близько піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Слідство 1. Центр кулі, описаного близько піраміди лежить в точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаного навколо цього підстави, і площині, перпендикулярній будь-якому бічного ребра, проведеної через сере дину цього ребра.

Слідство 2. Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або дорівнює нахилені до площини основи), то близько такої піраміди можна описати шар.Центр цієї кулі в цьому випадку лежить в точці перетину висоти піраміди (або її продовження) з віссю симетрії бічного ребра, що лежить в площині бокового ребра і висоти.

Слідство 3. Куля, зокрема, можна описати: близько трикутної піраміди, близько правильної піраміди, близько чотирикутної піраміди, у якій сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то в таку піраміду можна вписати кулю.

Слідство 1. Центр кулі, вписаного в піраміду, у якій бічні грані однаково нахилені до основи, лежить в точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута при основі піраміди, стороною якого є висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Слідство 2. У правильну піраміду можна вписати кулю.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.

Комбінація кулі з усіченої пірамідою.

1. Куля, описаний близько правильної зрізаної піраміди.

Теорема 5. Близько будь правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідним)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну усічену піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофему підстав.

На комбінацію кулі з усіченої пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є всього лише одна задача (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Близько циліндра, усіченого конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо циліндр рівносторонній.

Теорема 9. У будь-конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У усічений конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його твірна дорівнює сумі радіусів підстав.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для більш успішного вивчення матеріалу даної теми необхідно включати в хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (R \u003d a / 2, R \u003d a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (А) так; б) так; в) немає; г) немає; д) немає)

3. Чи справедливо твердження, що близько будь-трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу близько будь чотирикутної піраміди? (Ні, не близько будь чотирикутної піраміди)

5. Якими властивостями повинна володіти піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (В її основі повинен лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери - точка перетину двох геометричних місць точок у просторі. Перше - перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного навколо нього. Друге - площину перпендикулярна даній бічного ребра і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу близько призми, в основі якої - трапеція? (По-перше, призма повинна бути прямою, і, по-друге, трапеція повинна бути рівнобедреної, щоб біля неї можна було описати окружність)

8. Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб біля неї можна було описати сферу? (Призма повинна бути прямою, і її підставою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Близько трикутної призми описано сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є підставою призми? (Тупоугольного трикутник)

10. Чи можна описати сферу близько похилій призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, буде знаходиться на одній з бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Підстава піраміди - рівнобедрена трапеція.Ортогональная проекція вершини піраміди на площину підстави - точка, розташована поза трапеції. Чи можна близько такої трапеції описати сферу? (Так, можна. Те що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її заснування, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція - багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. Близько правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикуляре, проведеному до площини підстави через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, лежить: а) всередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупоугольние трикутник)

15. Близько прямокутного паралелепіпеда, ребра якого рівні 1 дм, 2 дм і 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. В якій усічений конус можна вписати сферу? (В усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Іншими словами, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати утворює)

17. У усічений конус вписано сфера. Під яким кутом утворює конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яким властивістю повинна володіти пряма призма, щоб в неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаною в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, в яку не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна в цю призму вписати сферу? (Ні, не можна, так як близько ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови в пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми в два рази більший за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови в правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони підстави перпендикулярно їй, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписана сфера. Яка точка піраміди є центром сфери? (Центр вписаною в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з підставою)

24. Чи можна описати сферу близько циліндра (прямого кругового)? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу близько конуса, зрізаного конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. Під всякий циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинна володіти циліндр, щоб в нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Під всякий конус можна вписати сферу? Як визначити положення центра сфери, вписаною в конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу твірної до площини підстави)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться з планування на тему "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю", два уроки доцільно відвести на рішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу на уроках доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (по усморенію вчителя) хід або план докази.

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються при вирішенні завдань. У підручнику С.Атанасяна і ін. По даній темі (стор. 138) можна знайти тільки визначення багатогранника, описаного близько сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаною в багатогранник, і сфери, описаної близько багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. Книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тел розглядаються при вирішенні задач № 629-646 , і звертається увага на те, що "при вирішенні того чи іншого завдання перш за все потрібно домогтися того, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених в умові тел". Далі наводиться рішення задач №638 (а) і №640.

З огляду на все вище сказане, і те, що найбільш важкими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення і повідомити їх учням.

Визначення.

1. Куля називається вписаним в багатогранник, а багатогранник описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаним близько багатогранника, а багатогранник вписаним в кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаним в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним близько кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (підстави) і всіх твірних циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписане коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаним близько циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола підстав (окружність підстави і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що близько будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описана окружність більшого кола кулі).

Загальні зауваження про становище центру кулі.

1. Центр кулі, вписаного в багатогранник, лежить в точці перетину биссекторной площин всіх двогранні кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаного близько багатогранника, лежить в точці перетину площин, перпендикулярних до всіх ребрах многогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований всередині, на поверхні і поза багатогранника.

Комбінація кулі з призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Куля можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цієї окружності.

Слідство 1. Центр кулі, вписаного в пряму призму, лежить в середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Слідство 2. Куля, зокрема, можна вписати в прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якій суми протилежних сторін підстави рівні між собою) за умови Н \u003d 2r, де Н - висота призми, r - радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описаний близько призми.

Теорема 2. Куля можна описати близько призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і близько її заснування можна описати коло.

слідство 1. Центр кулі, описаного близько прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного навколо основи.

Слідство 2.Куля, зокрема, можна описати: близько прямої трикутної призми, близько правильної призми, близько прямокутного паралелепіпеда, близько прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів підстави дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).

Комбінація кулі з пірамідою.

1. Куля, описаний близько піраміди.

Теорема 3. Близько піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Слідство 1. Центр кулі, описаного близько піраміди лежить в точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаного навколо цього підстави, і площині, перпендикулярній будь-якому бічного ребра, проведеної через сере дину цього ребра.

Слідство 2. Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або дорівнює нахилені до площини основи), то близько такої піраміди можна описати шар.Центр цієї кулі в цьому випадку лежить в точці перетину висоти піраміди (або її продовження) з віссю симетрії бічного ребра, що лежить в площині бокового ребра і висоти.

Слідство 3. Куля, зокрема, можна описати: близько трикутної піраміди, близько правильної піраміди, близько чотирикутної піраміди, у якій сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то в таку піраміду можна вписати кулю.

Слідство 1. Центр кулі, вписаного в піраміду, у якій бічні грані однаково нахилені до основи, лежить в точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута при основі піраміди, стороною якого є висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Слідство 2. У правильну піраміду можна вписати кулю.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.

Комбінація кулі з усіченої пірамідою.

1. Куля, описаний близько правильної зрізаної піраміди.

Теорема 5. Близько будь правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідним)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну усічену піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофему підстав.

На комбінацію кулі з усіченої пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є всього лише одна задача (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Близько циліндра, усіченого конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо циліндр рівносторонній.

Теорема 9. У будь-конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У усічений конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його твірна дорівнює сумі радіусів підстав.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для більш успішного вивчення матеріалу даної теми необхідно включати в хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (R \u003d a / 2, R \u003d a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (А) так; б) так; в) немає; г) немає; д) немає)

3. Чи справедливо твердження, що близько будь-трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу близько будь чотирикутної піраміди? (Ні, не близько будь чотирикутної піраміди)

5. Якими властивостями повинна володіти піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (В її основі повинен лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери - точка перетину двох геометричних місць точок у просторі. Перше - перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного навколо нього. Друге - площину перпендикулярна даній бічного ребра і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу близько призми, в основі якої - трапеція? (По-перше, призма повинна бути прямою, і, по-друге, трапеція повинна бути рівнобедреної, щоб біля неї можна було описати окружність)

8. Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб біля неї можна було описати сферу? (Призма повинна бути прямою, і її підставою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Близько трикутної призми описано сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є підставою призми? (Тупоугольного трикутник)

10. Чи можна описати сферу близько похилій призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, буде знаходиться на одній з бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Підстава піраміди - рівнобедрена трапеція.Ортогональная проекція вершини піраміди на площину підстави - точка, розташована поза трапеції. Чи можна близько такої трапеції описати сферу? (Так, можна. Те що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її заснування, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція - багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. Близько правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикуляре, проведеному до площини підстави через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної близько прямої трикутної призми, лежить: а) всередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупоугольние трикутник)

15. Близько прямокутного паралелепіпеда, ребра якого рівні 1 дм, 2 дм і 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. В якій усічений конус можна вписати сферу? (В усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Іншими словами, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати утворює)

17. У усічений конус вписано сфера. Під яким кутом утворює конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яким властивістю повинна володіти пряма призма, щоб в неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаною в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, в яку не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна в цю призму вписати сферу? (Ні, не можна, так як близько ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови в пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми в два рази більший за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови в правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони підстави перпендикулярно їй, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписана сфера. Яка точка піраміди є центром сфери? (Центр вписаною в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з підставою)

24. Чи можна описати сферу близько циліндра (прямого кругового)? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу близько конуса, зрізаного конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. Під всякий циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинна володіти циліндр, щоб в нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Під всякий конус можна вписати сферу? Як визначити положення центра сфери, вписаною в конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу твірної до площини підстави)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться з планування на тему "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і кулю", два уроки доцільно відвести на рішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу на уроках доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (по усморенію вчителя) хід або план докази.

Куля і сфера

Тіло, отримане в результаті обертання півкола навколо діаметра, називається кулею. Поверхня, утворена при цьому, називається сферою.Шаром називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, що не більшому даного, від даної точкі.Ета точка називається центром кулі, А дана відстань називається радіусом кулі.Граніца кулі називається кульовою поверхнею або сферой.Любой відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні, називається радіусом.Отрезок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром.Конци будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками шара.Всякое перетин кулі площиною є коло. Центр цього круга є підстави перпендикуляра, опущеного з центра на січну плоскость.Плоскость, що проходить через центр кулі, називається діаметральної площиною. Перетин кулі діаметральної площиною називається великим колом, А перетин сфери - великий окружністю.Любий діаметральна площину кулі є його площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетріїПлощина, що проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна радіусу, проведеного в цю точку, називається дотичною площиною. Дана точка називається точкою дотику.Касательная площину має з кулею тільки одну спільну точку - точку касанія.Прямая, що проходить через задану точку кульової поверхні перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною.Через будь-яку точку кульової поверхні проходить нескінченно багато дотичних, причому всі вони лежать в дотичній площині шара.Шаровим сегментом називається частина кулі, відсікає від нього плоскостью.Шаровим шаром називається частина кулі, розташована між двома паралельними площинами, що перетинають шар.Шаровой сектор виходить з кульового сегмента і конуса.Еслі кульової сегмент менше напівкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а підставою є підстава сегмента.Еслі же сегмент більше напівкулі, то зазначений конус з нього удаляется.Основние формулиКуля (R \u003d ОВ - радіус): S б \u003d 4πR 2 ; V \u003d 4πR 3 / 3.Шаровой сегмент (R \u003d ОВ - радіус кулі, h \u003d СК - висота сегмента, r \u003d КВ - радіус підстави сегмента): V сегм \u003d πh 2 (R - h / 3) або V сегм \u003d Πh (h 2 + 3r 2 ) / 6; S сегм \u003d 2πRh.Шаровой сектор (R \u003d ОВ - радіус кулі, h \u003d СК - висота сегмента): V \u003d V сегм ± V кін , «+» - якщо сегмент менше, «-» - якщо сегмент більше півсфери.або V \u003d V сегм + V кін \u003d πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3.Шаровой шар (R 1 і R 2 - радіуси підстав кульового шару; h \u003d СК - висота кульового шару або відстань між основами): V ш / сл \u003d πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S ш / сл \u003d 2πRh.Прімер 1.Об 'ем кулі дорівнює 288π см 3 . Знайти діаметр шара.РешеніеV \u003d πd 3 / 6288π \u003d πd 3 / 6πd 3 \u003d 1728πd 3 \u003d 1728d \u003d 12 см.Ответ: 12.Прімер 2.Три рівних сфери радіусом r торкаються один одного і деякою площині. Визначити радіус четвертої сфери, що стосується трьох даних і даної плоскості.Решеніенехай Про 1 , Про 2 , Про 3 - центри даних сфер і Про - центр четвертої сфери, що стосується трьох даних і цій площині. Нехай А, В, С, Т - точки дотику сфер з даної площиною. Точки дотику двох сфер лежать на лінії центрів цих сфер, тому Про 1 Про 2 \u003d О 2 Про 3 \u003d О 3 Про 1 \u003d 2r. Точки рівновіддалені від площини АВС, тому АВО 2 Про 1 , АВО 2 Про 3 , АВО 3 Про 1 - рівні прямокутники, отже, ΔАВС - рівносторонній зі стороною 2r.Пусть х - шуканий радіус четвертої сфери. Тоді ВІД \u003d х. отже, аналогічно Значить, Т - центр рівностороннього трикутника. Тому ЗвідсиВідповідь: r / 3.Сфера, вписана в пірамідуВ кожну правильну піраміду можна вписати сферу. Центр сфери лежить на висоті піраміди в точці її перетину з бісектрисою лінійного кута при ребрі підстави піраміди.Замечаніе. Якщо в піраміду, необов'язково правильну, можна вписати сферу, то радіус r цієї сфери можна обчислити за формулою r \u003d 3V / S пп , Де V - об'єм піраміди, S пп - площа її повної поверхності.Прімер 3.Коніческая воронка, радіус підстави якої R, а висота H, наповнена водою. У воронку опущений важку кулю. Яким повинен бути радіус кулі, щоб обсяг води, витіснений з воронки зануреної частиною кулі, був максимальним? РешеніеПроведем перетин через центр конуса. Дане перетин утворює трикутник.Якщо у воронці знаходиться куля, то максимальний розмір його радіуса буде дорівнює радіусу вписаного в отриманий трикутник окружності.Радіус вписаною в трикутник кола дорівнює: r \u003d S / p, де S - площа трикутника, p - його полуперіметр.Площадь рівнобедреного трикутника дорівнює половині висоти (H \u003d SO), помноженої на підставу. Але оскільки підстава - подвоєний радіус конуса, то S \u003d RH.Полуперіметр дорівнює p \u003d 1/2 (2R + 2m) \u003d R + mm - довжина кожної з рівних сторін рівнобедреного трикутника; R - радіус кола, складає основу конуса.Найдем m по теоремі Піфагора: , звідкиКоротко це виглядає наступним чином:відповідь:Приклад 4. У правильній трикутній піраміді з двогранним кутом при підставі, рівним α, розташовані дві кулі. Перша куля стосується всіх граней піраміди, а друга куля стосується всіх бічних граней піраміди і першої кулі. Знайти відношення радіуса першої кулі до радіусу другого кулі, якщо tgα \u003d 24 / 7.Решеніе
Нехай РАВС - правильна піраміда і точка Н - центр її заснування АВС. Нехай М - середина ребра ВС. тоді - лінійний кут двогранного кута , Який за умовою дорівнює α, причому α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .Нехай НН 1 - діаметр першої кулі і площина, що проходить через точку Н 1 перпендикулярно прямий РН, перетинає бічні ребра РА, РВ, РС відповідно в точках А 1 , В 1 , З 1 . тоді Н 1 буде центром правильного ΔА 1 В 1 З 1 , А піраміда РА 1 В 1 З 1 буде подібна піраміді РАВС з коефіцієнтом подібності k \u003d РН 1 / РН. Зауважимо, що друга куля, з центром в точці О 1 , Є вписаною в піраміду РА 1 В 1 З 1 і тому відношення радіусів вписаних куль дорівнює коефіцієнту подібності: ОН / ОН 1 \u003d РН / РН 1 . З рівності tgα \u003d 24/7 знаходимо:Нехай АВ \u003d х. тоді Звідси шукане відношення ОН / Про 1 Н 1 \u003d 16 / 9.Ответ: 16 / 9.Сфера, вписана в прізмуДіаметр D сфери, вписаною в призму, дорівнює висоті Н призми: D \u003d 2R \u003d H.Радіус R сфери, вписаною в призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз прізми.Еслі в пряму призму вписано сфера, то в основу цієї призми можна вписати окружность.Радіус R сфери, вписаною в пряму призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в основу прізми.Теорема 1Пусть в основу прямий призми можна вписати коло, і висота Н призми дорівнює діаметру D цієї окружності. Тоді в цю призму можна вписати сферу діаметром D. Центр цієї вписаної сфери збігається з серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, вписаних в підстави прізми.ДоказательствоНехай АВС ... А 1 В 1 З 1 ... - пряма призма і О - центр кола, вписаного в її основу АВС. Тоді точка Про рівновіддалена від усіх сторін підстави АВС. нехай Про 1 - ортогональна проекція точки О на підставу А 1 В 1 З 1 . тоді Про 1 рівновіддалена від усіх сторін підстави А 1 В 1 З 1 , І ГО 1 || АА 1 . Звідси випливає, що пряма ГО 1 паралельна кожній площині бічної грані призми, а довжина відрізка ГО 1 дорівнює висоті призми і, за умовою, діаметру кола, вписаного в основу призми. Значить, точки відрізка ГО 1 рівновіддалені від бічних граней призми, а середина F відрізка ГО 1 , Рівновіддалена від площин підстав призми, буде рівновіддалена від усіх граней призми. Тобто F - центр сфери, вписаною в призму, і діаметр цієї сфери дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Теорема доказана.Теорема 2Пусть до перпендикулярного перетин похилій призми можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цієї окружності. Тоді в цю похилу призму можна вписати сферу. Центр цієї сфери ділить висоту, що проходить через центр кола, вписаного в перпендикулярний переріз, пополам.Доказательство
Нехай АВС ... А 1 В 1 З 1 ... - похила призма і F - центр окружності радіусом FK, вписаною в її перпендикулярний переріз. Оскільки перпендикулярний переріз призми перпендикулярно кожної площині її бічної грані, то радіуси кола, вписаного в перпендикулярний переріз, проведені до сторін цього перетину, є перпендикулярами до бічних граней призми. Отже, точка F рівновіддалена від усіх бічних граней.Проведем через точку F пряму ГО 1 , Перпендикулярну площині підстав призми, що перетинає ці підстави в точках О і Про 1 . тоді ГО 1 - висота призми. Оскільки за умовою ГО 1 \u003d 2FK, то F - середина відрізка ГО 1 : FK \u003d ОО 1 / 2 \u003d FО \u003d FО 1 , Тобто точка F рівновіддалена від площин всіх без винятку граней призми. Значить, в дану призму можна вписати сферу, центр якої збігається з точкою F - центром кола, вписаного в те перпендикулярний переріз призми, яке ділить висоту призми, що проходить через точку F, навпіл. Теорема доказана.Прімер 5. У прямокутний паралелепіпед вписано кулю радіуса 1. Знайдіть об'єм параллелепіпеда.РешеніеНамалюйте вид зверху. Або збоку. Або спереду. Ви побачите одне і те ж - коло, вписаний в прямокутник. Очевидно, цей прямокутник буде квадратом, а паралелепіпед буде кубом. Довжина, ширина і висота цього куба в два рази більше, ніж радіус шара.АВ \u003d 2, а отже, обсяг куба дорівнює 8.Ответ: 8.Прімер 6.В правильної трикутної призмі зі стороною підстави, рівної , Розташовані дві кулі. Перша куля вписана в призму, а друга куля стосується одного підстави призми, двох її бічних граней і першої кулі. Знайти радіус другого шара.Решеніе
нехай АВСА 1 В 1 З 1 - правильна призма і точки Р і Р 1 - центри її підстав. Тоді центр кулі О, вписаного в цю призму, є серединою відрізка РР 1 . Розглянемо площину РВВ 1 . Оскільки призма правильна, то РВ лежить на відрізку BN, який є бісектрисою і висотою ΔАВС. Отже, площина і є биссекторной площиною двогранного кута при бічному ребрі ВВ 1 . Тому будь-яка точка цієї площини рівновіддалена від бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В. Зокрема, перпендикуляр ОК, опущений з точки О на грань АСС 1 А 1 , Лежить в площині РВВ 1 і дорівнює відрізку ОР.Заметім, що KNPO - квадрат, сторона якого дорівнює радіусу кулі, вписаного в дану прізму.Пусть Про 1 - центр кулі, що стосується вписаного кулі з центром О і бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В призми. Тоді точка Про 1 лежить площині РВВ 1 , А її проекція Р 2 на площину АВС лежить на відрізку РВ.По умові сторона основи дорівнює , Отже, PN \u003d 2 і тому радіус кулі ОР, вписаного в призму, також дорівнює 2. Так як кулі з центрами в точках О і Про 1 торкаються один одного, то відрізок ОО 1 \u003d ОР + Про 1 Р 2 . Позначимо ВР \u003d r, Про 1 Р 2 \u003d X. Розглянемо ΔОО 1 Т, де У цьому трикутнику ГО 1 \u003d R + x, Oт \u003d r - x. Тому Так як фігура Про 1 Р 2 РТ - прямокутник, то Далі, по властивості медіан трикутника РВ \u003d 2r, а Р 2 В \u003d 2х, оскільки в прямокутному трикутнику і Р 2 L \u003d х. Оскільки РВ \u003d РР 2 + Р 2 В, то отримуємо рівняння , З якого, з огляду на нерівність x< r, находим Підставивши значення r \u003d 2, остаточно знаходимо відповідь:Сфера, описане навколо багатогранника
Сфера називається описаної близько багатогранника, Якщо всі його вершини лежать на цій сфері. При цьому багатогранник називається вписаним в сферу.З визначення випливає, що якщо у багатогранника існує описана сфера, то всі його грані є вписаними багатокутниками і, отже, не кожен багатогранник має описану біля нього сферу.Напрімер, похилий паралелепіпед не має описаної сфери, тому що навколо паралелограма можна описати окружность.Центр сфери, описаної близько прямої призми - це середина відрізка, що з'єднує центри кіл, описаних близько підстав прямий прізми.Прімер 7.Найті радіус описаного навколо куба сфери, якщо обсяг куба 27. Відповідь записати у вигляді РешеніеОб'ем куба ребро куба a \u003d 3. По теоремі Піфагора діагональ куба Тоді радіус знайдемо, як половину діагоналі куба: Запишемо відповідь у вигляді Відповідь: 1,5.Прімер 8.Одно з підстав правильної трикутної призми належить великому колу кулі радіуса R, а вершини іншої основи належать поверхні цієї кулі. Визначити висоту призми, при якій її обсяг буде наібольшім.Решеніе
Перпендикуляр до площини А 1 В 1 З 1 , Проведений з центру описаного біля цього трикутника кола, проходить через центр кулі. позначимо ОВ 1 \u003d R, ОВ \u003d R 1 , ВВ 1 \u003d H \u003d x.Тогда Знайдемо похідну, прирівняємо її до нуля. отримаємо:відповідь:

Або сферою. Будь відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні, називається радіусом. Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.Будь-яке перетин кулі площиною є коло. Центр цього круга є підстави перпендикуляра, опущеного з центра на січну площину.Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральної площиною. Перетин кулі діаметральної площиною називається великим колом, А перетин сфери - великою окружністю. Будь-яка діаметральна площину кулі є його площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетрії. Площина, що проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна радіусу, проведеного в цю точку, називається дотичній площиною. Дана точка називається точкою дотику. Дотична площину має з кулею тільки одну спільну точку - точку дотику.Пряма, що проходить через задану точку кульової поверхні перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичній. Через будь-яку точку кульової поверхні проходить нескінченно багато дотичних, причому всі вони лежать в дотичній площині кулі.Шаровим сегментом називається частина кулі, відсікає від нього площиною.Шаровим шаром називається частина кулі, розташована між двома паралельними площинами, що перетинають кулю.кульовий сектор виходить з кульового сегмента і конуса.Якщо кульової сегмент менше напівкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а підставою є підстава сегмента.Якщо ж сегмент більше напівкулі, то зазначений конус з нього віддаляється. Основні формули Куля (R \u003d ОВ - радіус):S б \u003d 4πR 2; V \u003d 4πR 3/3.Кульовий сегмент (R \u003d ОВ - радіус кулі, h \u003d СК - висота сегмента, r \u003d КВ - радіус підстави сегмента):V сегм \u003d πh 2 (R - h / 3)або V сегм \u003d πh (h 2 + 3r 2) / 6; S сегм \u003d 2πRh.Кульовий сектор (R \u003d ОВ - радіус кулі, h \u003d СК - висота сегмента):V \u003d V сегм ± V кін, «+» - якщо сегмент менше, «-» - якщо сегмент більше півсфери.або V \u003d V сегм + V кін \u003d πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Кульовий шар (R 1 і R 2 - радіуси підстав кульового шару; h \u003d СК - висота кульового шару або відстань між основами):V ш / сл \u003d πh 3/6 + πh (R 1 2 + R 2 2) / 2; S ш / сл \u003d 2πRh.Приклад 1.Обсяг кулі дорівнює 288π см 3. Знайти діаметр кулі.РішенняV \u003d πd 3/6288π \u003d πd 3/6πd 3 \u003d 1728πd 3 \u003d 1 728d \u003d 12 см.Відповідь: 12.Приклад 2.Три рівних сфери радіусом r торкаються один одного і деякою площині. Визначити радіус четвертої сфери, що стосується трьох даних і цій площині.Рішення Нехай О 1, О 2, О 3 - центри даних сфер і Про - центр четвертої сфери, що стосується трьох даних і цій площині. Нехай А, В, С, Т - точки дотику сфер з даної площиною. Точки дотику двох сфер лежать на лінії центрів цих сфер, тому О 1 О 2 \u003d О 2 О 3 \u003d О 3 О 1 \u003d 2r. Точки рівновіддалені від площини АВС, тому АВО 2 О 1, АВО 2 О 3, АВО 3 О 1 - рівні прямокутники, отже, ΔАВС - рівносторонній зі стороною 2r.нехай х - шуканий радіус четвертої сфери. Тоді ВІД \u003d х. Отже, Аналогічно Значить, Т - центр рівностороннього трикутника. Тому звідсиВідповідь: r / 3. Сфера, вписана в пірамідуУ кожну правильну піраміду можна вписати сферу. Центр сфери лежить на висоті піраміди в точці її перетину з бісектрисою лінійного кута при ребрі основи піраміди.Зауваження. Якщо в піраміду, необов'язково правильну, можна вписати сферу, то радіус r цієї сфери можна обчислити за формулою r \u003d 3V / S пп, де V - об'єм піраміди, S пп - площа її повної поверхні.Приклад 3.Конічна воронка, радіус підстави якої R, а висота H, наповнена водою. У воронку опущений важку кулю. Яким повинен бути радіус кулі, щоб обсяг води, витіснений з воронки зануреної частиною кулі, був максимальним?РішенняПроведемо переріз через центр конуса. Дане перетин утворює трикутник. Якщо у воронці знаходиться куля, то максимальний розмір його радіуса буде дорівнює радіусу вписаного в отриманий трикутник окружності.Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює:r \u003d S / p, де S - площа трикутника, p - його напівпериметр.Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині висоти (H \u003d SO), помноженої на підставу. Але оскільки підстава - подвоєний радіус конуса, то S \u003d RH.Напівпериметр дорівнює p \u003d 1/2 (2R + 2m) \u003d R + m.m - довжина кожної з рівних сторін рівнобедреного трикутника;R - радіус кола, складає основу конуса.Знайдемо m по теоремі Піфагора: , звідкиКоротко це виглядає наступним чином: відповідь: Приклад 4.У правильній трикутній піраміді з двогранним кутом при підставі, рівним α, розташовані дві кулі. Перша куля стосується всіх граней піраміди, а друга куля стосується всіх бічних граней піраміди і першої кулі. Знайти відношення радіуса першої кулі до радіусу другого кулі, якщо tgα \u003d 24/7.Рішення
нехай РАВС - правильна піраміда і точка Н - центр її заснування АВС. Нехай М - середина ребра ВС. Тоді - лінійний кут двогранного кута, який за умовою дорівнює α, причому α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . нехай НН 1 - діаметр першої кулі і площина, що проходить через точку Н 1 перпендикулярно прямій РН, перетинає бічні ребра РА, РВ, РС відповідно в точках А 1, В 1, С 1. Тоді Н 1 буде центром правильного ΔА 1 В 1 С 1, а піраміда РА 1 В 1 С 1 буде подібна піраміді РАВС з коефіцієнтом подібності k \u003d РН 1 / РН. Зауважимо, що друга куля, з центром в точці О 1, є вписаною в піраміду РА 1 В 1 С 1 і тому відношення радіусів вписаних куль дорівнює коефіцієнту подібності: ОН / ОН 1 \u003d РН / РН 1. З рівності tgα \u003d 24/7 знаходимо:нехай АВ \u003d х. тодіЗвідси шукане відношення ОН / О 1 Н 1 \u003d 16/9.Відповідь: 16/9. Сфера, вписана в призмуДіаметр D сфери, вписаною в призму, дорівнює висоті Н призми: D \u003d 2R \u003d H.радіус R сфери, вписаною в призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми.Якщо в пряму призму вписано сфера, то в основу цієї призми можна вписати коло.радіус R сфери, вписаною в пряму призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми.теорема 1Нехай в основу прямий призми можна вписати коло, і висота Н призми дорівнює діаметру D цієї окружності. Тоді в цю призму можна вписати сферу діаметром D. Центр цієї вписаної сфери збігається з серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, вписаних в основи призми.Доведення Нехай АВС ... А 1 В 1 С 1 ... - пряма призма і О - центр кола, вписаного в її основу АВС. Тоді точка Про рівновіддалена від усіх сторін підстави АВС. Нехай О 1 - ортогональна проекція точки О на підставу А 1 В 1 С 1. Тоді О 1 рівновіддалена від усіх сторін підстави А 1 В 1 С 1, і ГО 1 || АА 1. Звідси випливає, що пряма ГО 1 паралельна кожній площині бічної грані призми, а довжина відрізка ГО 1 дорівнює висоті призми і, за умовою, діаметру кола, вписаного в основу призми. Значить, точки відрізка ГО 1 рівновіддалені від бічних граней призми, а середина F відрізка ГО 1, рівновіддалена від площин підстав призми, буде рівновіддалена від усіх граней призми. Тобто F - центр сфери, вписаною в призму, і діаметр цієї сфери дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Теорема доведена.теорема 2Нехай до перпендикулярного перетин похилій призми можна вписати коло, і висота призми дорівнює діаметру цієї окружності. Тоді в цю похилу призму можна вписати сферу. Центр цієї сфери ділить висоту, що проходить через центр кола, вписаного в перпендикулярний переріз, навпіл.Доведення
Нехай АВС ... А 1 В 1 С 1 ... - похила призма і F - центр окружності радіусом FK, вписаною в її перпендикулярний переріз. Оскільки перпендикулярний переріз призми перпендикулярно кожної площині її бічної грані, то радіуси кола, вписаного в перпендикулярний переріз, проведені до сторін цього перетину, є перпендикулярами до бічних граней призми. Отже, точка F рівновіддалена від усіх бічних граней.Проведемо через точку F пряму ГО 1, перпендикулярну площині підстав призми, що перетинає ці підстави в точках О і О1. Тоді ГО 1 - висота призми. Оскільки за умовою ГО 1 \u003d 2FK, то F - середина відрізка ГО 1:FK \u003d ОО 1/2 \u003d FО \u003d FО 1, тобто точка F рівновіддалена від площин всіх без винятку граней призми. Значить, в дану призму можна вписати сферу, центр якої збігається з точкою F - центром кола, вписаного в те перпендикулярний переріз призми, яке ділить висоту призми, що проходить через точку F, навпіл. Теорема доведена.Приклад 5.У прямокутний паралелепіпед вписано кулю радіуса 1. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.Рішення Намалюйте вид зверху. Або збоку. Або спереду. Ви побачите одне і те ж - коло, вписаний в прямокутник. Очевидно, цей прямокутник буде квадратом, а паралелепіпед буде кубом. Довжина, ширина і висота цього куба в два рази більше, ніж радіус кулі.АВ \u003d 2, а отже, обсяг куба дорівнює 8.Відповідь: 8.Приклад 6.У правильній трикутній призмі зі стороною підстави, рівної, розташовані дві кулі. Перша куля вписана в призму, а друга куля стосується одного підстави призми, двох її бічних граней і першої кулі. Знайти радіус другої кулі.Рішення
Нехай АВСА 1 В 1 С 1 - правильна призма і точки Р і Р 1 - центри її підстав. Тоді центр кулі О, вписаного в цю призму, є серединою відрізка РР 1. Розглянемо площину РВВ 1. Оскільки призма правильна, то РВ лежить на відрізку BN, який є бісектрисою і висотою ΔАВС. Отже, площина і є биссекторной площиною двогранного кута при бічному ребрі ВВ 1. Тому будь-яка точка цієї площини рівновіддалена від бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В. Зокрема, перпендикуляр ОК, опущений з точки О на грань АСС 1 А 1, лежить в площині РВВ 1 і дорівнює відрізку ОР.Зауважимо, що KNPO - квадрат, сторона якого дорівнює радіусу кулі, вписаного в дану призму.нехай О 1 - центр кулі, що стосується вписаного кулі з центром О і бічних граней АА 1 ВВ 1 і СС 1 В 1 В призми. Тоді точка О 1 лежить площині РВВ 1, а її проекція Р 2 на площину АВС лежить на відрізку РВ.За умовою сторона основи дорівнює