Як зробити проекцію вектора на вісь. Основні формули знаходження відстаней за допомогою проекції вектора на вісь. Як пов'язаний вектор переміщення тіла з його координатами

Нехай в просторі дані два вектора і. Відкладемо від довільної точки O вектори і. кутом між векторами і називається найменший з кутів. позначається .

Розглянемо вісь l і відкладемо на ній одиничний вектор (тобто вектор, довжина якого дорівнює одиниці).

Під кутом між вектором і віссю l розуміють кут між векторами і.

Отже, нехай l - деяка вісь і - вектор.

позначимо через A 1 і B 1 проекції на вісь lвідповідно точок A і B. Припустимо, що A 1 має координату x 1, а B 1 - координату x 2 на осі l.

тоді проекцією вектора на вісь l називається різниця x 1 – x 2 між координатами проекцій кінця і початку вектора на цю вісь.

Проекцію вектора на вісь l будемо позначати.

Ясно, що якщо кут між вектором і віссю l гострий, то x 2> x 1, І проекція x 2 – x 1\u003e 0; якщо цей кут тупий, то x 2< x 1 і проекція x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x 2= x 1 і x 2– x 1=0.

Таким чином, проекція вектора на вісь l - це довжина відрізка A 1 B 1, Взята з певним знаком. Отже, проекція вектора на вісь це число або скаляр.

Аналогічно визначається проекція одного вектора на інший. В цьому випадку знаходяться проекції кінців даного вектора на ту пряму, на якій лежить 2-ий вектор.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

ЛІНІЙНО ЗОВСІМ І ЛІНІЙНО НЕЗАЛЕЖНІ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ

Розглянемо кілька векторів.

лінійною комбінацією даних векторів називається будь-який вектор виду, де - деякі числа. Числа називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Кажуть також, що в цьому випадку лінійно виражається через дані вектори, тобто виходить з них за допомогою лінійних дій.

Наприклад, якщо дані три вектора то в якості їх лінійної комбінації можна розглядати вектори:

Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами.

вектори називаються лінійно залежними, Якщо існують такі числа, не всі рівні нулю, що . Ясно, що задані вектори будуть лінійно залежними, якщо який-небудь з цих векторів лінійно виражається через інші.

В іншому випадку, тобто коли співвідношення виконується тільки при , Ці вектори називаються лінійно незалежними.

Теорема 1. Будь-які два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доказ:

Аналогічно можна довести наступну теорему.

Теорема 2. Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доказ.

БАЗИС

базисом називається сукупність відмінних від нулів лінійно незалежних векторів. Елементи базису будемо позначати.

У попередньому пункті ми бачили, що два неколінеарних вектора на площині лінійно незалежні. Тому відповідно до теореми 1, з попереднього пункту, базисом на площині є будь-які два неколінеарних вектора на цій площині.

Аналогічно в просторі лінійно незалежні будь-які три некомпланарних вектора. Отже, базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектора.

Справедливо наступне твердження.

Теорема. Нехай в просторі заданий базис. Тоді будь-який вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації , де x, y, z - деякі числа. Таке розкладання єдине.

Доказ.

Таким чином, базис дозволяє однозначно зіставити кожному вектору трійку чисел - коефіцієнти розкладання цього вектора по векторах базису:. Вірно і зворотне, кожній трійці чисел x, y, z за допомогою базису можна зіставити вектор, якщо скласти лінійну комбінацію .

Якщо базис і , То числа x, y, z називаються координатами вектора в даному базисі. Координати вектора позначають.

Декартовій системі координат

Нехай в просторі задана точка O і три некомпланарних вектора.

Декартовой системою координат в просторі (на площині) називається сукупність точки і базису, тобто сукупність точки і трьох некомпланарних векторів (2-х неколінеарних векторів), що виходять з цієї точки.

Крапка O називається початком координат; прямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат - віссю абсцис, ординат і аплікат. Площині, що проходять через осі координат, називають координатними площинами.

Розглянемо в обраній системі координат довільну точку M. Введемо поняття координати точки M. Вектор, що з'єднує початок координат з точкою M. називається радіус-вектором точки M.

Вектору в обраному базисі можна зіставити трійку чисел - його координати: .

Координати радіус-вектора точки M. називаються координатами точки M. в даній системі координат. M (x, y, z). Перша координата називається абсцисою, друга - ординатою, третя - аплікатою.

Аналогічно визначаються декартові координати на площині. Тут точка має тільки дві координати - абсциссу і ординату.

Легко бачити, що при заданій системі координат кожна точка має певні координати. З іншого боку, для кожної трійки чисел знайдеться єдина точка, яка має ці числа як координати.

Якщо вектори, взяті в якості базису, в обраній системі координат, мають одиничну довжину і попарно перпендикулярні, то система координат називається декартовій прямокутній.

Нескладно показати, що.

Направляючі косинуси вектора повністю визначають його напрям, але нічого не говорять про його довжині.

Основні поняття ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Скалярні і векторні величини

З курсу елементарної фізики відомо, що деякі фізичні величини, такі як температура, об'єм, маса тіла, щільність і т.д., визначаються тільки числовим значенням. Такі величини називаються скалярними величинами, або скалярами.

Для визначення ж деяких інших величин, таких як сила, швидкість, прискорення і тому подібних, крім числових значень необхідно задати ще і їх напрям в просторі. Величини, які крім абсолютної величини характеризуються ще й напрямком, називаються векторними.

визначення Вектором називається спрямований відрізок, який визначається двома точками: перша точка визначає початок вектора, а друга - його кінець. Тому ще говорять, що вектор - це впорядкована пара точок.

На малюнку вектор зображується відрізком прямої, на якому стрілкою зазначене напрямок від початку вектора до його кінця. Наприклад, рис. 2.1.

Якщо початок вектора збігається з точкою , А кінець з точкою , То вектор позначається
. Крім цього, часто вектори позначають однією маленькою буквою зі стрілкою над нею . У книжках іноді стрілку опускають, тоді для позначення вектора вживають жирний шрифт.

До векторах відноситься нульовий вектор, У якого початок і кінець збігаються. він позначається або просто .

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною, або модулем. Модуль вектора позначається двома вертикальними рисками ліворуч:
, Або без стрілок
або .

Вектори, паралельні до однієї прямої, називаються колінеарними.

Вектори, що лежать в одній площині або паралельні одній і тій же площині, називаються компланарними.

Нульовий вектор вважається колінеарну до будь-якого вектору. Довжина його дорівнює 0.

визначення два вектора
і
називаються рівними (рис. 2.2), якщо вони:
1)колінеарні; 2) сонаправлени 3) рівні по довжині.

Це записують так:
(2.1)

З визначення рівності векторів випливає, що при паралельному перенесенні вектора виходить вектор, рівний початкового, тому початок вектора можна розмістити в будь-яку точку простору. Такі вектори (в теоретичної механіки, геометрії), початок яких можна розміщувати в будь-якій точці простору, називають вільними. І саме такі вектори ми будемо розглядати.

визначення система векторів
називається лінійно залежною, якщо існують такі постійні
, Серед яких є хоча б одна відмінна від нуля, і для яких виконується рівність.

визначення Базисом в просторі називаються довільні три некомпланарних вектора, які взяті в певній послідовності.

визначення якщо
- базис і вектор, то числа
називаються координатами вектора в даному базисі.

Координати вектора будемо писати в фігурних дужках після позначення вектора. Так наприклад,
означає, що вектор в деякому обраному базисі має розкладання:
.

З властивостей множення вектора на число та додавання векторів випливає твердження щодо лінійних дій над векторами, які задані координатами.

Для того, щоб знайти координати вектора, якщо відомі координати його початку і кінця, необхідно з відповідною координати його кінця відняти координату початку.

Лінійні операції над векторами

Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання (віднімання) векторів і множення вектора на число. Розглянемо їх.

визначення твором вектора на число
називається вектор, що збігається за напрямком з вектором , якщо
, Що має протилежний зміст, якщо
негативне. Довжина цього вектора дорівнює добутку довжини вектора на модуль числа
.

П ример . побудувати вектор
, якщо
і
(Рис. 2.3).

При множенні вектора на число його координати множаться на це число.

Дійсно, якщо, то

твором вектора на
називається вектор
;
- протилежний спрямований .

Відзначимо, що вектор, довжина якого дорівнює 1, називається одиничним(або ортом).

Користуючись операцією множення вектора на число, будь-який вектор можна виразити через одиничний вектор того ж напрямку. Дійсно, поділивши вектор на його довжину (Тобто помноживши на ), Отримаємо одиничний вектор того ж напрямку, що і вектор . Його будемо позначати
. Звідси слідує що
.

визначення Сумою двох векторів і називається вектор , Який виходить з їх загального початку і є діагоналлю паралелограма, сторони якого вектори і (Рис. 2.4).

.

За визначенням рівних векторів
тому
-правило трикутника. Правило трикутника можна поширити на будь-яку кількість векторів і таким чином отримати правило багатокутника:
- це вектор, який з'єднує початок першого вектора з кінцем останнього вектора (Рис. 2.5).

Отже, для того щоб побудувати вектор суми, треба до кінця першого вектора прилаштувати початок другого, до кінця другого прилаштувати початок третього і так далі. Тоді вектором суми і буде вектор, який з'єднує початок першого з векторів з кінцем останнього.

При додаванні векторів складаються і їх відповідні координати

Дійсно, якщо і
,

якщо вектори
і нЕ компланарність, то їх сума є діагоналлю
паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (рис. 2.6)

,

де

властивості:

- коммутативность;

- асоціативність;

- дистрибутивность по відношенню до множення на число

.

Тобто векторну суму можна перетворювати за тими ж правилами, що і алгебраїчну.

визначенняРізницею двох векторів і називають такий вектор , Який при додаванні з вектором дає вектор . Тобто
якщо
. геометрично являє собою другу діагональ паралелограма, побудованого на векторах і із загальним початком і спрямовану з кінця вектора в кінець вектора (Рис. 2.7).

Проекція вектора на вісь. властивості проекцій

Згадаймо поняття числової осі. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

напрямок (→);

початок відліку (точка О);

відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Нехай є вектор
і вісь . з точок і опустимо перпендикуляри на вісь . отримаємо точки і - проекції точок і (Рис. 2.8 а).

визначення проекцією вектора
на вісь називається довжина відрізка
цієї осі, який розташований між підставами проекцій початку і кінця вектора
на вісь . Вона береться зі знаком плюс, якщо напрямок відрізка
збігається з напрямком осі проекцій, і зі знаком мінус, якщо ці напрямки протилежні. позначення:
.

Про пределеніе Кутом між вектором
і віссю називається кут , На який необхідно найкоротшим чином повернути вісь , Щоб вона збігалася з напрямком вектора
.

знайдемо
:

На рис.2.8 а представлена:
.

На рис. 2.8 б): .

Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором і віссю проекцій:
.

властивості проекцій:

якщо
, То вектори називаються ортогональними

приклад . задані вектори
,
.Тоді

.

Приклад. Якщо початок вектора
знаходиться в точці
, А кінець в точці
, То вектор
має координати:

Про пределеніе Кутом між двома векторами і називається найменший кут
(Рис. 2.13) між цими векторами, зведеними в загальне початок .

Кут між векторами і символічно записують таким чином: .

З визначення випливає, що кут між векторами може змінюватися в межах
.

якщо
, То вектори називаються ортогональними.

.

Визначення. Косинуси кутів вектора з осями координат називаються напрямними косинусами вектора. якщо вектор
утворює з осями координат кути

.

Введение .................................................................................... 3

1. Значення вектора і скаляра ................................................ .4

2. Визначення проекції, осі і координатою точки .................. ... 5

3. Проекція вектора на вісь ................................................... ... 6

4. Основна формула векторної алгебри ................................. .8

5. Обчислення модуля вектора по його проекція ..................... ... 9

Висновок .............................................................................. ... 11

Література .............................................................................. ... 12

Вступ:

Фізика нерозривно пов'язана з математикою. Математика дає фізики кошти і прийоми загального і точного вираження залежності між фізичними величинами, які відкриваються в результаті експерименту або теоретичних ісследованій.Ведь основний метод досліджень у фізиці - експериментальний. Це означає - обчислення вчений виявляє за допомогою вимірювань. Позначає зв'язок між різними фізичними величинами. Потім, все перекладається на мову математики. Формується математична модель. Фізика - це наука, що вивчає найпростіші і разом з тим найбільш загальні закономірності. Завдання фізики полягає в тому, щоб створити в нашій свідомості таку картину фізичного світу, яка найбільш повно відображає властивості його і забезпечує такі співвідношення між елементами моделі, які існують між елементами.

Отже, фізика створює модель оточуючого нас світу і вивчає її властивості. Але будь-яка модель є обмеженою. При створенні моделей того чи іншого явища беруться до уваги тільки суттєві для даного кола явищ властивості і зв'язку. В цьому і полягає мистецтво вченого - з усього різноманіття вибрати головне.

Фізичні моделі є математичними, але не математика є їх основою. Кількісні співвідношення між фізичними величинами з'ясовуються в результаті вимірів, спостережень і експериментальних досліджень і лише виражаються мовою математики. Однак іншої мови для побудови фізичних теорій не існує.

1. Значення вектора і скаляра.

У фізиці та математиці вектор - це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням і напрямком. У фізиці зустрічається чимало важливих величин, які є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, крутний момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура і щільність, які можна описати звичайним числом, і називаються вони " скалярами ".

Вони записуються або буквами звичайного шрифту, або цифрами (а, б, t, G, 5, -7 ....). Скалярні величини можуть бути позитивними і негативними. У той же час деякі об'єкти вивчення можуть мати такі властивості, для повного опису яких знання тільки числовий заходи виявляється недостатнім, необхідно ще охарактеризувати ці властивості напрямком в просторі. Такі властивості характеризуються векторними величинами (векторами). Вектори, на відміну від скалярів, позначаються буквами жирного шрифту: a, b, g, F, С ....
Нерідко вектор позначають буквою звичайного (нежирного) шрифту, але зі стрілкою над нею:

Модуль вектора, тобто довжину спрямованого прямолінійного відрізка, позначають тими ж буквами, як і сам вектор, але в звичайному (не жирний) написанні і без стрілки над ними, або точно також як і вектор (тобто жирним шрифтом або звичайним, але зі стрілкою), але тоді позначення вектора полягає в вертикальні рисочки.
Вектор - складний об'єкт, який одночасно характеризується і величиною і напрямком.

Не буває також позитивних і негативних векторів. А ось рівними між собою вектори бути можуть. Це коли, наприклад, aіb мають однакові модулі і спрямовані в одну сторону. В цьому випадку справедлива запис a \u003d B. Треба також мати на увазі, що перед символом вектора може стояти знак мінус, наприклад, - з, однак, цей знак символічно вказує на те, що вектор -з має такий же модуль, як і вектор с, але спрямований у протилежний бік.

Вектор -з називають протилежним (або зворотним) вектору с.
У фізиці ж кожен вектор наповнений конкретним змістом і при порівнянні однотипних векторів (наприклад, сил) можуть мати суттєве значення і точки їх застосування.

2. Визначення проекції, осі і координатою точки.

ось - це пряма, якій надається якийсь напрямок.
Ось позначається будь-якої буквою: X, Y, Z, s, t ... Зазвичай на осі вибирається (довільно) точка, яка називається початком відліку і, як правило, позначається буквою О. Від цієї точки відраховуються відстані до інших цікавлять нас точок.

проекцією точки на вісь називається підстава перпендикуляра, опущеного з цієї точки на дану вісь. Тобто, проекцією точки на вісь є точка.

координатою точки на даній осі називається число, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (в обраному масштабі), укладеного між початком осі і проекцією точки на цю вісь. Це число береться зі знаком плюс, якщо проекція точки розташовується в напрямку осі від її початку і зі знаком мінус, якщо в протилежному напрямку.

3.Проекція вектора на вісь.

Проекцією вектора на вісь називається вектор, який виходить в результаті перемноження скалярною проекції вектора на цю вісь і одиничного вектора цієї осі. Наприклад, якщо а x - скалярна проекція вектора а на вісь X, то а x · i - його векторна проекція на цю вісь.

Позначимо векторну проекцію також, як і сам вектор, але з індексом тієї осі на яку вектор проектується. Так, векторну проекцію вектора а на вісь Х позначимо а x (жирна буква, що позначає вектор і нижній індекс назви осі) або

скалярною проекцією вектора на вісь називається число, Абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (в обраному масштабі), укладеного між проекціями точки початку і точки кінця вектора. Зазвичай замість виразу скалярная проекція кажуть просто - проекція. Проекція позначається тією ж буквою, що і проектований вектор (в звичайному, нежирному написанні), з нижнім (як правило) індексом назви осі, на яку цей вектор проектується. Наприклад, якщо на вісь Х проектується вектор а, то його проекція позначається а x. При проектуванні цього ж вектора на іншу вісь, якщо вісь Y, його проекція буде позначатися а y.

Щоб обчислити проекцію вектора на вісь (наприклад, вісь X) треба з координати точки його кінця відняти координату точки початку, тобто

а x \u003d х до - x н.

Проекція вектора на вісь - це число. Причому, проекція може бути позитивною, якщо величина х до більше величини х н,

негативною, якщо величина х до менше величини х н

і рівною нулю, якщо х до одно х н.

Проекцію вектора на вісь можна також знайти, знаючи модуль вектора і кут, який він складає з цією віссю.

З малюнка видно, що а x \u003d а Cos α

Тобто, проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між напрямком осі і напрямком вектора. Якщо кут гострий, то
Cos α\u003e 0 і а x\u003e 0, а, якщо тупий, то косинус тупого кута від'ємний, і проекція вектора на вісь теж буде негативна.

Кути, відлічувані від осі проти годинникової стрілки, прийнято вважати позитивними, а по ходу - негативними. Однак, оскільки косинус - функція парна, то є, Cos α \u003d Cos (- α), то при обчисленні проекцій кути можна відраховувати як по ходу годинникової стрілки, так і проти.

Щоб знайти проекцію вектора на вісь треба модуль цього вектора помножити на косинус кута між напрямком осі і напрямком вектора.

4. Основна формула векторної алгебри.

Спроектіруемвектор а на осі Х і Y прямокутної системи координат. Знайдемо векторні проекції вектора а на ці осі:

а x \u003d а x · i, а y \u003d а y · j.

Але відповідно справілом додавання векторів

а \u003d а x + а y.

а \u003d а x · i + а y · j.

Таким чином, ми висловили вектор через його проекції і орт прямокутної системи координат (або через його векторні проекції).

Векторні проекції а x і а y називаютсясоставляющімі або компонентами вектора а. Операція, яку ми виконали, називається розкладанням вектора по осямпрямоугольной системи координат.

Якщо вектор заданий в просторі, то

а \u003d а x · i + а y · j + а z · k.

Ця формула називається основною формулою векторної алгебри. Звичайно, її можна записати і так.

У цій статті ми розберемося з проекцією вектора на вісь і навчимося знаходити числову проекцію вектора. Спочатку дамо визначення проекції вектора на вісь, введемо позначення, а також наведемо графічну ілюстрацію. Після цього озвучимо визначення числової проекції вектора на вісь, розглянемо способи її знаходження і покажемо рішення кількох прикладів, в яких потрібно знайти числову проекцію вектора на вісь.

Навігація по сторінці.

Проекція вектора на вісь - визначення, позначення, ілюстрації, приклад.

Почнемо з загальних відомостей.

Під віссю розуміється пряма, для якої вказано напрямок. Таким чином, проекція вектора на вісь і проекція вектора на спрямовану пряму - це одне і те ж.

Проекцію вектора на вісь можна розглядати в двох значеннях: геометричному і алгебраическом. У геометричному сенсі проекція вектора на вісь є вектор, а в алгебраїчному - число. Часто це розмежування явно не вказується, а розуміється з контексту. Ми ж не будемо ігнорувати це розмежування: будемо використовувати термін «», коли мова йде про проекції вектора в геометричному сенсі, і термін «», коли мова йде про проекції вектора в алгебраїчному сенсі (числовий проекції вектора на вісь присвячений наступний пункт цієї статті) .

Тепер переходимо до визначення проекції вектора на вісь. Для цього не завадить повторити.

Нехай на площині або в тривимірному просторі нам задана вісь L і ненульовий вектор. Позначимо проекції точок А і В на пряму L відповідно як А 1 і В 1 і побудуємо вектор. Забігаючи наперед скажемо, що вектор - це проекція вектора на вісь L.

Визначення.

Проекція вектора на вісь - це вектор, початком і кінцем якого є відповідно проекції початку і кінця заданого вектора.

Проекцію вектора на вісь L позначають як.

Щоб побудувати проекцію вектора на вісь L, потрібно з точок А і В опустити перпендикуляри на спрямовану пряму L - підстави цих перпендикулярів дадуть початок і кінець шуканої проекції.

Наведемо приклад проекції вектора на вісь.

Нехай на площині введена прямокутна система координат Oxy і задана деяка точка. Зобразимо радіус-вектор точки М 1 і побудуємо його проекції на координатні осі Ox і Oy. Очевидно, ними є вектори з координатами і відповідно.

Часто можна чути про проекції одного вектора на інший ненульовий вектор або про проекції вектора на напрямок вектора. У цьому випадку мається на увазі проекція вектора на деяку вісь, напрямок якої збігається з напрямком вектора (взагалі існує нескінченно багато осей, напрямки яких збігаються з напрямом вектора). Проекція вектора на пряму, напрямок якої визначає вектор, позначається як.

Відзначимо, що якщо кут між векторами і гострий, то вектори і сонаправлени. Якщо кут між векторами і тупий, то вектори і протилежно спрямовані. Якщо ж вектор нульової або перпендикулярний вектору, то проекція вектора на пряму, напрямок якої задає вектор, є нульовий вектор.

Числова проекція вектора на вісь - визначення, позначення, приклади знаходження.

Числовою характеристикою проекції вектора на вісь є числова проекція цього вектора на дану вісь.

Визначення.

Числова проекція вектора на вісь - це число, яке дорівнює добутку довжини даного вектора на косинус кута між цим вектором і вектором, що визначає напрямок осі.

Числову проекцію вектора на вісь L позначають як (без стрілочки зверху), а числову проекцію вектора на вісь, яка визначається вектором, - як.

У цих позначеннях визначення числової проекції вектора на пряму, спрямовану як вектор, набуде вигляду , Де - довжина вектора, - кут між векторами і.

Отже, ми маємо першу формулу для обчислення числової проекції вектора:. Ця формула застосовується, коли відомі довжина вектора і кут між векторами і. Безсумнівно, цю формулу можна застосовувати і тоді, коли відомі координати векторів і щодо заданої прямокутної системи координат, проте в цьому випадку зручніше використовувати іншу формулу, яку ми отримаємо нижче.

Приклад.

Обчисліть числову проекцію вектора на пряму, спрямовану як вектор, якщо довжина вектора дорівнює 8, а кут між векторами і дорівнює.

Рішення.

З умови задачі маємо . Залишилося лише застосувати формулу, що дозволяє визначити необхідну числову проекцію вектора:

відповідь:

Нам відомо, що , Де - скалярний добуток векторів і. тоді формула , Що дозволяє знайти числову проекцію вектора на пряму, спрямовану як вектор, набуде вигляду . Тобто, ми можемо сформулювати ще одне визначення числової проекції вектора на вісь, яке еквівалентно визначенням, яке на початку цього пункту.

Визначення.

Числова проекція вектора на вісь, Напрямок якої збігається з напрямком вектора, - це відношення скалярного добутку векторів і до довжини вектора.

Отриману формулу виду зручно застосовувати для знаходження числовий проекції вектора на пряму, напрямок якої збігається з напрямком вектора, коли відомі координати векторів і. Покажемо це при вирішенні прикладів.

Приклад.

Відомо, що вектор задає напрямок осі L. Знайдіть числову проекцію вектора на вісь L.

Рішення.

Формула в координатної формі має вигляд , де і . Використовуємо її для знаходження необхідної числової проекції вектора на вісь L:

відповідь:

Приклад.

Щодо прямокутної системи координат Oxyz в тривимірному просторі задані два вектори і . Знайдіть числову проекцію вектора на вісь L, напрямок якої збігається з напрямком вектора.

Рішення.

За координатами векторів і можна обчислити скалярний добуток цих векторів: . Довжина вектора по його координатами обчислюється за такою формулою . Тоді формула для визначення числової проекції вектора на вісь L в координатах має вигляд .

Застосуємо її:

відповідь:

Тепер давайте отримаємо зв'язок між числовий проекцією вектора на вісь L, напрямок якої визначає вектор, і довжиною проекції вектора на вісь L. Для цього зобразимо вісь L, відкладемо вектори і з точки, що лежить на L, опустимо перпендикуляр з кінця вектора на пряму L і побудуємо проекцію вектора на вісь L. Залежно від міри кута між векторами і можливі наступні п'ять варіантів:

У першому випадку очевидно, що, отже,, тоді .

У другому випадку в зазначеному прямокутному трикутнику з визначення косинуса кута маємо , Отже, .

У третьому випадку очевидно, що, а , Отже, і .

У четвертому випадку з визначення косинуса кута слід, що , звідки .

В останньому випадку, отже,, тоді
.

Наступне визначення числової проекції вектора на вісь об'єднує в собі отримані результати.

Визначення.

Числова проекція вектора на вісь L, Спрямовану як вектор, це

Приклад.

Довжина проекції вектора на вісь L, напрямок якої задає вектор, дорівнює. Чому дорівнює числова проекція вектора на вісь L, якщо кут між векторами і дорівнює радіан.

Пр a b \u003d | b | cos (a, b) або

Де a b - скалярний добуток векторів, | a | - модуль вектора a.

Інструкція. Для знаходження проекції вектора пp a b в онлайн режимі необхідно вказати координати векторів a і b. При цьому вектор може бути заданий на площині (дві координати) і в просторі (три координати). Отримане рішення зберігається в файлі Word. Якщо вектори задані через координати точок, то необхідно використовувати цей калькулятор.

Класифікація проекцій вектора

Види проекцій за визначенням проекція вектора

1. Геометрична проекція вектора AB на вісь (вектор) називається вектор A "B", початок якого A 'є проекція початку A на вісь (вектор), а кінець B' - проекція кінця B на ту ж вісь.
2. Алгебраїчна проекція вектора AB на вісь (вектор) називається довжина вектора A "B", взята зі знаком + або -, в залежності від того, чи має вектор A "B" той самий напрямок, що і вісь (вектор).

Види проекцій по системі координат

Властивості проекції вектора

1. Геометрична проекція вектора є вектор (має напрямок).
2. Алгебраїчна проекція вектора є число.

Теореми про проекціях вектора

AC "\u003d AB" + B "C"

Пр a b \u003d | b | · cos (a, b)

Види проекцій вектора

1. проекція на вісь OX.
2. проекція на вісь OY.
3. проекція на вектор.

Проекція на вісь OX	Проекція на вісь OY	Проекція на вектор
Якщо напрямок вектора A'B 'збігається з напрямком осі OX, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B 'збігається з напрямком осі OY, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B 'збігається з напрямком вектора NM, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.
Якщо напрямок вектора протилежно до напрямку осі OX, то проекція вектора A'B 'має негативний знак.	Якщо напрямок вектора A'B 'протилежно до напрямку осі OY, то проекція вектора A'B' має негативний знак.	Якщо напрямок вектора A'B 'протилежно до напрямку вектора NM, то проекція вектора A'B' має негативний знак.
Якщо вектор AB паралельний осі OX, то проекція вектора A'B 'дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний осі OY, то проекція вектора A'B 'дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний вектору NM, то проекція вектора A'B 'дорівнює модулю вектора AB.
Якщо вектор AB перпендикулярний осі OX, то проекція A'B 'дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний осі OY, то проекція A'B 'дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний вектору NM, то проекція A'B 'дорівнює нулю (нуль-вектор).

1. Питання: Чи може проекція вектора мати негативний знак. Відповідь: Так, проекцій вектора може бути негативною величиною. В цьому випадку, вектор має протилежний зміст (див. Як спрямовані вісь OX і вектор AB)
2. Питання: Чи може проекція вектора збігатися з модулем вектора. Відповідь: Так, може. В цьому випадку, вектори паралельні (або лежать на одній прямій).
3. Питання: Чи може проекція вектора дорівнювати нулю (нуль-вектор). Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектор перпендикулярний відповідної осі (вектору).

Приклад 1. Вектор (рис. 1) утворює з віссю OX (вона задана вектором a) кут 60 о. Якщо OE є одиниця масштабу, то | b | \u003d 4, так що .

Дійсно, довжина вектора (геометричної проекції b) дорівнює 2, а напрямок збігається з напрямком осі OX.

Приклад 2. Вектор (рис. 2) утворює з віссю OX (з вектором a) кут (a, b) \u003d 120 o. Довжина | b | вектора b дорівнює 4, тому пр a b \u003d 4 · cos120 o \u003d -2.

Дійсно, довжина вектора дорівнює 2, а напрям протилежний напрямку осі.