Як будувати проекції на осі. Вектори та операції над векторами. Види проекцій по визначенню векторної проекції

Відповідь:

Властивості проекцій:

Властивості векторної проекції

Властивість 1.

Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі проекцій векторів на ту саму вісь:

Ця властивість дозволяє замінювати проекцію суми векторів сумою їх проекцій та навпаки.

Властивість 2.Якщо вектор множиться на число λ, його проекція на вісь також множиться на це число:

Властивість 3.

Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором та віссю:

Орт осі. Розкладання вектора по координатним ортам. Векторні координати. Властивості координат

Відповідь:

Орти осей.

Прямокутна система координат (будь-який розмірності) також описується набором ортів, спрямованих з осями координат. Кількість ортів дорівнює розмірності системи координат і вони перпендикулярні одне одному.

У тривимірному випадку орти зазвичай позначаються

І можуть також застосовуватися позначення зі стрілками та

При цьому у разі правої системи координат дійсні такі формули з векторними творами ортів:

Розкладання вектора по координатним ортам.

Орт координатної осі позначається через , осі - через осі - через (рис. 1)

Для будь-якого вектора, який лежить у площині, має місце наступне розкладання:

Якщо вектор розташований у просторі, то розкладання по орт координатних осей має вигляд:

Координати вектора:

Щоб обчислити координати вектора, знаючи координати (x1; y1) його початку A і координати (x2; y2) його кінця B, потрібно від координат кінця відняти координати початку: (x2 – x1; y2 – y1).

Властивості координат.

Розглянемо координатну пряму з початком координат у точці і одиничним вектором i. Тоді для будь-якого вектора a на цій прямій: a = axi.

Число ax називається координатою вектора a координатної осі.

Властивість 1.При додаванні векторів на осі їх координати складаються.

Властивість 2.При множенні вектора число його координата множиться цього числа.

Скалярський витвір векторів. Властивості.

Відповідь:

Скалярним твором двох ненульових векторів називається число,

дорівнює добутку цих векторів на косинус кута між ними.

Властивості:

1. Скалярний твір має переміщувальну властивість: ab=bа

Скалярне твір координатних ортів. Визначення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Відповідь:

Скалярний твір (×) орти

Визначення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Скалярний добуток двох векторів і заданих своїми координатами може бути обчислений за формулою

Векторний твір двох векторів. Властивості векторного твору.

Відповідь:

Три некомпланарні вектори утворюють праву трійку якщо з кінця третього поворот від першого вектора до другого відбувається проти годинникової стрілки. Якщо по вартовий - то ліву., якщо ні то в протилежному ( показати як він показував з «ручками»)

Векторні твори вектор ана вектор bназивається вектор з який:

1. Перпендикулярний векторам аі b

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, утвореного на aі bвекторах

3. Вектори, a, b, і cутворюють праву трійку векторів

Властивості:

1.

3.

4.

Векторний твір координатних ортів. Визначення векторного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Відповідь:

Векторний твір координатних ортів.

Визначення векторного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Нехай вектори а = (х1; у1; z1) та b = (х2; у2; z2) задані своїми координатами у прямокутній декартовій системі координат О, i, j, k, причому трійка i, j, k є правою.

Розкладемо а і b за базовими векторами:

а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Використовуючи властивості векторного твору, отримуємо

[а; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

За визначенням векторного твору знаходимо

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Враховуючи ці рівності, формулу (1) можна записати так:

[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дає вираз векторного твори двох векторів, заданих своїми координатами.

Отримана формула громіздка. Використовуючи позначення визначників можна записати її в іншому зручнішому для запам'ятовування вигляді:

Зазвичай формулу (З) записують ще коротше:

Вступ…………………………………………………………………………3

1. Значення вектора і скаляра………………………………………….4

2. Визначення проекції, осі та координатою точки………………...5

3. Проекція вектора на вісь……………………………………………...6

4. Основна формула векторної алгебри……………………………..8

5. Обчислення модуля вектора за його проекціями…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Література……………………………………………………………………...12

Вступ:

Фізика нерозривно пов'язані з математикою. Математика дає фізиці засоби та прийоми загального та точного вираження залежності між фізичними величинами, які відкриваються в результаті експерименту чи теоретичних досліджень. Адже основний метод досліджень у фізиці – експериментальний. Це означає – обчислення вчений виявляє за допомогою вимірів. Позначає зв'язок між різними фізичними величинами. Потім, все перекладається мовою математики. Формується математична модель. Фізика є наука, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні закономірності. Завдання фізики полягає в тому, щоб створити в нашій свідомості таку картину фізичного світу, яка найбільш повно відображає властивості його та забезпечує такі співвідношення між елементами моделі, які існують між елементами.

Отже, фізика створює модель навколишнього світу і вивчає її властивості. Але будь-яка модель обмежена. p align="justify"> При створенні моделей того чи іншого явища приймаються до уваги тільки суттєві для даного кола явищ властивості і зв'язку. У цьому полягає мистецтво вченого - з усього різноманіття вибрати головне.

Фізичні моделі є математичними, але з математика є їх основою. Кількісні співвідношення між фізичними величинами з'ясовуються в результаті вимірювань, спостережень та експериментальних досліджень і лише виражаються мовою математики. Проте іншої мови для побудови фізичних теорій немає.

1. Значення вектора та скаляра.

У фізиці та математиці вектор – це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням та напрямком. У фізиці зустрічається чимало важливих величин, що є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, момент, що обертає, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура та щільність, які можна описати звичайним числом, і називаються вони " скалярами".

Вони записуються або літерами звичайного шрифту або цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярні величини можуть бути позитивними та негативними. У той же час деякі об'єкти вивчення можуть володіти такими властивостями, повного описуяких знання лише числової міри виявляється недостатнім, необхідно ще охарактеризувати ці властивості напрямом у просторі. Такі характеристики характеризуються векторними величинами (векторами). Вектори, на відміну скалярів, позначаються буквами жирного шрифту: a, b, g, F, З ….
Нерідко вектор позначають буквою звичайного (нежирного) шрифту, але зі стрілкою над нею:

Модуль вектора, тобто довжину спрямованого прямолінійного відрізка, позначають тими ж літерами, як і сам вектор, але в звичайному (не жирному) написанні і без стрілки над ними, або так само як і вектор (тобто жирним або звичайним шрифтом, але зі стрілкою), але тоді позначення вектора полягає у вертикальні рисочки.
Вектор – складний об'єкт, який одночасно характеризується і величиною та напрямком.

Не буває також позитивних та негативних векторів. А от рівними між собою вектори можуть бути. Це коли, наприклад, aіb мають однакові модулі та направлені в одну сторону. У цьому випадку справедливий запис a= b. Треба також мати на увазі, що перед символом вектора може стояти знак мінус, наприклад, -, однак цей знак символічно вказує на те, що вектор -с має такий же модуль, як і вектор с, але спрямований в протилежний бік.

Вектор -з називають протилежним (або зворотним) вектор с.
У фізиці кожен вектор наповнений конкретним змістом і при порівнянні однотипних векторів (наприклад, сил) можуть мати істотне значення і точки їх застосування.

2.Визначення проекції, осі та координатою точки.

Ось– це пряма, якій надається якийсь напрямок.
Вісь позначається якоюсь літерою: X , Y , Z , s , t … Зазвичай на осі вибирається (довільно) точка, яка називається початком відліку і, як правило, позначається буквою О. Від цієї точки відраховуються відстані до інших точок, що цікавлять нас.

Проекцією точкина вісь називається основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на цю вісь. Тобто проекцією точки на вісь є точка.

Координатою точкина цій осі називається число, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (у вибраному масштабі), укладеного між початком осі та проекцією точки на цю вісь. Це число береться зі знаком плюс, якщо проекція точки розташовується у напрямі осі від її початку і зі знаком мінус, якщо у протилежному напрямку.

3.Проекція вектора на вісь.

Проекцією вектора на вісь називається вектор, який у результаті перемноження скалярної проекції вектора на цю вісь і одиничного вектора цієї осі. Наприклад, якщо а x - скалярна проекція вектора на вісь X, то а x · i - його векторна проекція на цю вісь.

Позначимо векторну проекцію так само, як і сам вектор, але з індексом осі на яку вектор проектується. Так, векторну проекцію вектора на вісь Х позначимо а x (жирна буква, що позначає вектор і нижній індекс назви осі) або

Скалярною проекцієювектор на вісь називається числоабсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (у вибраному масштабі), укладеного між проекціями точки початку і точки кінця вектора. Зазвичай замість виразу скалярна проекціякажуть просто – проекція. Проекція позначається тією ж літерою, що і вектор, що проектується (у звичайному, нежирному написанні), з нижнім (як правило) індексом назви осі, на яку цей вектор проектується. Наприклад, якщо на вісь Х проектується вектор а,його проекція позначається а x . При проектуванні цього ж вектора на іншу вісь, якщо вісь Y його проекція буде позначатися а y .

Щоб обчислити проекцію векторана вісь (наприклад, вісь X) треба від координати точки його кінця відняти координату точки початку, тобто

а x = х до − x н.

Проекція вектора на вісь – це число.Причому, проекція може бути позитивною, якщо величина х до більша за величину х н,

негативною, якщо величина х до менша за величину х н

і дорівнює нулю, якщо х до х н.

Проекцію вектора на вісь можна знайти, знаючи модуль вектора і кут, який він складає з цією віссю.

З малюнка видно, що x = а Cos α

Тобто, проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між напрямком осі та напрямом вектора. Якщо кут гострий, то
Cos α > 0 і а x > 0, а якщо тупий, то косинус тупого кута негативний, і проекція вектора на вісь теж буде негативна.

Кути, що відлічуються від осі проти ходу годинникової стрілки, прийнято вважати позитивними, а по ходу негативними. Однак, оскільки косинус – функція парна, тобто Cos α = Cos (− α), то при обчисленні проекцій кути можна відраховувати як протягом годинної стрілки, так і проти.

Щоб знайти проекцію вектора на вісь, треба модуль цього вектора помножити на косинус кута між напрямком осі і напрямком вектора.

4. Основна формула векторної алгебри.

Спроектуємо вектор а на осі Х та Y прямокутної системикоординат. Знайдемо векторні проекції вектора на ці осі:

а x = а x · i, а y = а y · j.

Але відповідно до справи додавання векторів

а = а x + а y.

а = а x · i + а y · j.

Таким чином, ми висловили вектор через його проекції та орти прямокутної системи координат (або через його векторні проекції).

Векторні проекції а x та а y називаються складовими або компонентами вектора а. Операція, яку ми виконали, називається розкладанням вектора по осях прямокутної системи координат.

Якщо вектор заданий у просторі, то

а = а x · i + а y · j + а z · k.

Ця формула називається основною формулою векторної алгебри. Звісно, ​​її можна записати і так.

1. Знаходження проекцій геометрично.

Вектор
- проекція вектора на вісь OX
- проекція вектора на вісь OY

Визначення 1. Проекція вектора на якусь вісь координат називається взяте зі знаком "плюс" або "мінус" число, що відповідає довжині відрізка, розташованого між основами перпендикулярів, опущених з початку та кінця вектора на вісь координат.

Знак проекції визначається так. Якщо під час руху вздовж осі координат відбувається переміщення від точки проекції початку вектора до точки проекції кінця вектора у позитивному напрямку осі, то проекція вектора вважається позитивною. Якщо ж протилежно осі, то проекція вважається негативною.

По малюнку видно, що й вектор орієнтований якось протилежно осі координат, його проекція з цього вісь негативна. Якщо вектор орієнтований якось у позитивному напрямку осі координат, його проекція на цю вісь позитивна.

Якщо вектор перпендикулярний осі координат, його проекція на цю вісь дорівнює нулю.
Якщо вектор сонаправлен з віссю, його проекція цієї вісь дорівнює модулю вектора.
Якщо вектор протилежно спрямований осі координат, його проекція на цю вісь по абсолютній величині дорівнює модулю вектора, взятому зі знаком мінус.

2. Найбільш загальне визначенняпроекції.

З прямокутного трикутника ABD: .

Визначення 2. Проекція вектора на якусь вісь координат називається число, що дорівнює добутку модуля вектора і косинуса кута, утвореного вектором з позитивним напрямом осі координат.

Знак проекції визначається знаком косинуса кута, утвореного вектором із позитивним напрямом осі.
Якщо кут гострий, то косинус має позитивний знак і проекції - позитивні. Для тупих кутів косинус має негативний знак, у таких випадках проекції на вісь негативні.
- для векторів, перпендикулярних до осі, проекція дорівнює нулю.

Розв'язання задач на рівновагу сил, що сходяться, за допомогою побудови замкнутих силових багатокутників пов'язане з громіздкими побудовами. Універсальним методом вирішення таких завдань є перехід до визначення проекцій заданих сил на координатні осіта оперування з цими проекціями. Оссю називають пряму лінію, якій приписано певний напрямок.

Проекція вектора на вісь є скалярною величиною, що визначається відрізком осі, що відсікається перпендикулярами, опущеними на неї з початку та кінця вектора.

Проекція вектора вважається позитивною, якщо напрямок від початку проекції до її кінця збігається з позитивним напрямком осі. Проекція вектора вважається негативною, якщо напрямок від початку проекції до кінця протилежно позитивному напрямку осі.

Таким чином, проекція сили на вісь координат дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між вектором сили та позитивним напрямом осі.

Розглянемо низку випадків проектування сил на вісь:

Вектор сили F(рис. 15) складає з позитивним напрямом осі х гострий кут.

Щоб знайти проекцію, з початку та кінця вектора сили опускаємо перпендикуляри на вісь ох; отримуємо

1. F x = F cos α

Проекція вектора у цьому випадку позитивна

Сила F(рис. 16) складає з позитивним напрямом осі хтупий кут α.

Тоді F x = F cos α, але оскільки α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекція сили Fна вісь оху разі негативна.

Сила F(рис. 17) перпендикулярна до осі ох.

Проекція сили F на вісь хдорівнює нулю

F x = F cos 90 ° = 0.

Силу, розташовану на площині хоу(Рис. 18), можна спроектувати на дві координатні осі охі оу.

Силу Fможна розкласти на складові: F x та F y. Модуль вектор F x дорівнює проекції вектора Fна вісь ox, а модуль вектора F y дорівнює проекції вектора Fна вісь oy.

З Δ ОАВ: F x = F cos α, F x = F sin α.

З Δ ОАС: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Модуль сили можна знайти за теоремою Піфагора:

Проекція векторної суми або рівнодіє на якусь вісь дорівнює алгебраїчної сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.

Розглянемо сили, що сходяться F 1 , F 2 , F 3 , і F 4, (рис. 19, а). Геометрична сума, або рівнодіюча, цих сил Fвизначається замикаючою стороною силового багатокутника

Опустимо з вершин силового багатокутника на вісь xперпендикуляри.

Розглядаючи отримані проекції сил безпосередньо із виконаної побудови, маємо

F= F 1x + F 2x + F 3x + F 4x

де n - число доданків векторів. Їхні проекції входять вищевказане рівняння з відповідним знаком.

У площині геометричну суму можна спроектувати на дві координатні осі, а просторі – відповідно на три.

P a b = |b|cos(a,b) або

Де a b - скалярний добуток векторів, | a | - Модуль вектора a .

Інструкція. Для знаходження проекції вектора P a b в онлайн режимі необхідно вказати координати векторів a і b. При цьому вектор може бути заданий на площині (дві координати) та у просторі (три координати). Отримане рішення зберігається у файлі Word. Якщо вектори задані через координати точок, необхідно використовувати цей калькулятор .

Класифікація векторних проекцій

Види проекцій по визначенню векторної проекції

1. Геометрична проекція вектора AB на вісь (вектор) називається вектор A"B" , початок якого A є проекція початку A на вісь (вектор), а кінець B' - проекція кінця B на ту ж вісь.
2. Алгебраїчна проекція вектора AB на вісь (вектор) називається довжина вектора A"B", взята зі знаком + або -, залежно від того, чи має вектор A"B" той самий напрямок, що і вісь (вектор).

Види проекцій за системою координат

Властивості векторної проекції

1. Геометрична проекція вектора є вектор (має напрямок).
2. Алгебраїчна проекція вектор є число.

Теореми про проекції вектора

AC" =AB" +B"C"

Пp a b = | b | · cos (a, b)

Види векторних проекцій

1. проекція на вісь OX.
2. проекція на вісь OY.
3. проекції на вектор.

Проекція на вісь OX	Проекція на вісь OY	Проекція на вектор
Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком осі OX, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком осі OY, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' збігається з напрямком вектора NM, то проекція вектора A'B' має позитивний знак.
Якщо напрям вектора протилежний напряму осі OX, то проекція вектора A'B' має негативний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' протилежний напряму осі OY, то проекція вектора A'B' має негативний знак.	Якщо напрямок вектора A'B' протилежно з напрямом вектора NM, то проекція вектора A'B' має негативний знак.
Якщо вектор AB паралельний осі OX, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний осі OY, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.	Якщо вектор AB паралельний вектору NM, то проекція вектора A'B дорівнює модулю вектора AB.
Якщо вектор AB перпендикулярний до осі OX, то проекція A'B' дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний до осі OY, то проекція A'B' дорівнює нулю (нуль-вектор).	Якщо вектор AB перпендикулярний вектору NM, то проекція A'B дорівнює нулю (нуль-вектор).

1. Питання: Чи може векторна проекція мати негативний знак. Відповідь: Так, проекцій вектора може бути негативною величиною. В цьому випадку, вектор має протилежний напрямок (див. як вісь спрямовані OX і вектор AB)
2. Питання: Чи може проекція вектора співпадати з модулем вектора? Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектори паралельні (або лежать на одній прямій).
3. Питання: Чи може проекція вектора дорівнювати нулю (нуль-вектор). Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектор перпендикулярний відповідній осі (вектору).

приклад 1 . Вектор (рис. 1) утворює з віссю OX (вона задана вектором a) кут 60 о. Якщо OE є одиниця масштабу, то | b | = 4, отже .

Дійсно, довжина вектора (геометричної проекції b) дорівнює 2, а напрямок збігається з напрямком осі OX.

Приклад 2 . Вектор (рис. 2) утворює з віссю OX (з вектором a) кут (a, b) = 120 o . Довжина | b | вектора b дорівнює 4, тому пр a b = 4 · cos120 o = -2.

Справді, довжина вектора дорівнює 2, а напрямок протилежний напрямку осі.