Судження у логіці. Що таке судження, види суджень. Логіка висловлювань: теорія та застосування. Приклади рішень задач Судженням не буде вираз

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

Федеральне агентство з освіти

Санкт-Петербурзький державний університет сервісу та економіки

Юридичний інститут

За дисципліною: Логіка

на тему: Складні судження

Санкт-Петербург

Поняття простого судження

Судження- Форма мислення, за допомогою якої щось стверджується або заперечується про предмет (ситуації) і яка має логічне значення істини або хибності. Це визначення характеризує просте судження.

Наявність затвердження чи заперечення описуваної ситуації відрізняє судження від поняття .

Характерною особливістю судження з логічного погляду і те, що він – при логічно правильному його побудові – завжди істинно чи хибно. І пов'язано це саме з наявністю в судженні затвердження чи заперечення чогось. Поняття, яке на відміну від судження містить лише опис предметів та ситуацій з метою їхнього уявного виділення, не має істиннісних характеристик.

Судження слід відрізняти від пропозиції. Звукова оболонка судження пропозиція. Судження завжди є пропозицією, але не навпаки. Судження виявляється у оповідальному реченні, у якому затверджується, заперечується чи повідомляється будь-що. Таким чином, питання, спонукальна і наказова пропозиції судженнями не є. Структури пропозиції та судження не збігаються. Граматичний лад однієї й тієї ж пропозиції різниться у різних мовах, тоді як логічний лад судження завжди однаковий в усіх народів.

Слід зазначити також відносини між судженням та висловлюванням. Висловлювання– це твердження або оповідальна пропозиція, про яку можна сказати, що вона істинна чи хибна. Іншими словами, твердження про хибність чи істинність висловлювання має мати сенс. Судження є змістом будь-якого висловлювання. Такі пропозиції, як «число n є простим», неможливо вважати висловлюванням, тому що про нього не можна сказати, чи є воно істинним чи хибним. Залежно від цього, яке зміст матиме змінна «n», можна встановити його логічне значення. Подібні вирази називаються пропозиційними змінними.Висловлювання позначається однією літерою латинського алфавіту. Воно сприймається як нерозкладна одиниця. Це означає, що в ньому не розглядається жодна структурна одиниця як його частина. Такий вислів називається атомарним (елементарним)і відповідає простому судженню. З двох і більше атомарних висловлювань у вигляді логічних операторів (зв'язок) утворюється складне чи молекулярне висловлювання. На відміну від висловлювання судження є конкретною єдністю суб'єкта та об'єкта, пов'язаних за змістом.

Приклади суджень та висловлювань:

Просте висловлювання – А; просте судження - "S є (не є) P".

Складне висловлювання – A→B; складне судження - "якщо S1 є P1, то S2 є P2".

Склад простого судження

У традиційній логіці встановилося членування судження на суб'єкт, предикат та зв'язку.

Суб'єкт – частина судження, де виражається предмет думки.

Предикат – частина судження, у якій щось стверджується чи заперечується предмет думки. Наприклад, у судженні "Земля - ​​планета Сонячної системи"суб'єктом є "Земля", предикатом "планета сонячної системи". Неважко помітити, що логічний суб'єкт і предикат не збігаються з граматичними, тобто з підлеглим і присудком.

Разом суб'єкт та предикат називаються термінами судженнята позначаються відповідно латинськими символами S та P.

Окрім термінів, судження містить зв'язку. Як правило, зв'язка виражається словами «є», «суть», «є», «бути». У наведеному прикладі її опущено.

Поняття складного судження

Складне судження- Судження, утворене з простих за допомогою логічних спілок кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності.

Логічний союз– це спосіб з'єднання простих суджень у складне, при якому логічне значення останнього встановлюється відповідно до логічних значень складових його простих суджень.

Особливість складних суджень полягає в тому, що їх логічне значення (істинність чи хибність) визначається не смисловим зв'язком простих суджень, що становлять складне, але двома параметрами:

1) логічним значенням простих суджень, що входять до складного;

2) характером логічного зв'язування, що з'єднує прості судження;

Сучасна формальна логіка відволікається від змістовного зв'язку між простими судженнями та аналізує такі висловлювання, в яких цей зв'язок може бути відсутнім. Наприклад, «Якщо квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, то Сонце існують вищі рослини».

Логічне значення складного судження встановлюється з допомогою таблиць істинності. Таблиці істинності будуються в такий спосіб: на вході виписуються всі можливі комбінації логічних значень простих суджень, у тому числі складається складне судження. Число цих комбінацій можна вирахувати за такою формулою: 2n, де n – число простих суджень, складових складне. На виході виписується значення складного судження.

Порівняність суджень

Крім іншого, судження поділяються на порівнянні, що мають спільний суб'єкт або предикат та незрівнянні, які мають між собою нічого спільного. У свою чергу, порівняні діляться на сумісні, що повністю або частково виражають одну і ту ж думку і, несумісні, якщо з істинності одного з них необхідно випливати помилковість іншого (при зіставленні таких суджень порушується закон несуперечності). Ставлення до істинності між судженнями, порівнянними через суб'єкти, відображається логічним квадратом.

Логічний квадрат лежить в основі всіх висновків і є поєднанням символів A, I, E, O, що означають певний тип категоричних висловлювань.

A – Загальноствердні: Всі S є P .

I – Приватні: Принаймні деякі S є P .

E – загальнонегативні: Усі (ні одні) S не є P.

O - Приватнонегативні: Принаймні деякі S не є P.

З них загальноствердні та загальнонегативні є підлеглими, а приватноствердні та приватнонегативні – підлеглими.

Судження A та E протиставлені один одному;

Судження I та O протилежні;

Судження, розташовані по діагоналі – суперечливі.

Суперечливі та протиставлені судження в жодному разі не можуть бути одночасно істинними. Протилежні судження можуть бути або не бути одночасно істинними, але принаймні істинним має бути одне з них.

Закон транзитивності узагальнює логічний квадрат, стаючи основою всіх безпосередніх висновків і визначає, що з істинності підлеглих суджень логічно випливає істинність суджень їм підлеглих і хибність протилежних підлеглих суджень.

Логічні зв'язки. Кон'юнктивне судження

Кон'юнктивне судження- судження, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли істинні всі судження, що входять до нього.

Утворюється за допомогою логічного союзу кон'юнкції, що виражається граматичними союзами «і», «так», «але», «проте». Наприклад, "Світить, та не гріє".

Символічно позначається наступним чином: А В, де А, В – змінні, що позначають прості судження, символічний вираз логічного союзу кон'юнкції.

Визначенню кон'юнкції відповідає таблиця істинності:

Диз'юнктивні судження

Є два види диз'юнктивних суджень: строга (виключна) диз'юнкція та нестрога (не виключна) диз'юнкція.

Сувора (виключна) диз'юнкція- Складне судження, що приймає логічне значення істини тоді і тільки тоді, коли істинно тільки одне з суджень, що входять до нього, або «яке хибно тоді, коли обидва висловлювання хибні». Наприклад, «Це число або кратно, або кратно п'яти».

Логічний союз диз'юнкція виражається у вигляді граматичного союзу «чи…чи».

Символічно записується АВ.

Логічне значення суворої диз'юнкції відповідає таблиці істинності:

Нестрога (не виключна) диз'юнкція- Складне судження, що приймає логічне значення істини тоді і тільки тоді, коли істинним є, принаймні, одне (але може бути і більше) з простих суджень, що входять до складного. Наприклад, «Письменники можуть бути або поетами, або прозаїками (або тим і іншим одночасно)» .

Нестрога диз'юнкція виражається у вигляді граматичного союзу «або…або» в роздільно-сполучному значенні.

Символічно записується ˅ В. Нестрогої диз'юнкції відповідає таблиця істинності:

Імплікативні (умовні) судження

Імплікація- Складне судження, що приймає логічне значення помилковості тоді і тільки тоді, коли попереднє судження ( антецедент) істинно, а наступне ( консеквент) Помилково.

У природній мові імплікація виражається союзом «якщо..., то» у сенсі «напевно, що і не». Наприклад, "Якщо число ділиться на 9, то воно ділиться і на 3".

Людину, яка є невід'ємним елементом будь-якого пізнання. Особливо якщо цей процес пов'язаний із роздумами, висновками та побудовою доказів. У логіці судження також визначають словом "висловлювання".

Судження як поняття

Маючи лише одні поняття та уявлення без можливості їх з'єднання чи зв'язку, могли б люди дійти пізнання чогось? Відповідь однозначна: ні. Пізнання можливе виключно у тих випадках, коли воно має відношення до істинності чи хибності. А питання про істину та брехню виникає лише за наявності будь-якого зв'язку між поняттями. Об'єднання між ними встановлюється тільки в момент судження про щось. Наприклад, вимовляючи слово «кішка», яке не несе в собі ні істинності, ні хибності, ми маємо на увазі лише поняття. Судження «кішка має чотири лапи» - це вже висловлювання, що є або правдивим, або ні, що має ствердну чи негативну оцінку. Наприклад: «Всі дерева зелені»; "Деякі птахи не літають"; «Жоден дельфін – не риба»; "Деякі рослини не є їстівними".

Побудова судження створює основу, яка вважається дійсною. Це дозволяє рухатися у роздумах до істини. Судження дозволяє відобразити зв'язок між явищами та предметами або між властивостями та ознаками. Наприклад: «Вода під час замерзання розширюється» - фраза висловлює взаємозв'язок обсягів речовини і температури. Це дозволяє встановити співвідношення між різними поняттями. Судження містять утвердження чи заперечення зв'язку між подіями, предметами, явищами. Наприклад, коли кажуть: «Машина їде вздовж будинку» - мають на увазі певний просторовий зв'язок між двома об'єктами (машиною та будинком).

Судження - це розумова форма, що має у собі утвердження чи заперечення існування предметів (понять), і навіть зв'язок між предметами чи поняттями, об'єктами та його ознаками.

Мовна форма судження

Як поняття немає поза слів чи словосполучень, і висловлювання неможливі поза речень. При цьому не всяка пропозиція є думкою. Будь-яке висловлювання у мовному вигляді виявляється у оповідальній формі, що несе повідомлення про щось. Пропозиції, які мають заперечення чи твердження (запитальні і спонукальні), тобто, які неможливо охарактеризувати як істинні чи хибні, є судженнями. Висловлювання, що описують майбутні можливі події, також неможливо оцінити як такі, що несуть у собі брехню чи істину.

І все ж існують такі пропозиції, які формою виглядають як питання або вигук. Але за змістом вони затверджують чи заперечують. Вони звуться риторичних. Наприклад: «Яка російська не любить швидкої їзди?» - це риторичне запитання, яке спирається на конкретну думку. Судження в цьому випадку містить твердження, що кожен російський любить швидку їзду. Те саме стосується і оклику пропозицій: «Спробуй знайти сніг у червні!» У разі стверджується думка про неможливість передбачуваного дії. Така конструкція є висловлюванням. Аналогічно пропозиціями судження можуть бути простими та складними.

Структура судження

Просте висловлювання немає певної частини, яку можна виділити. Його складовими частинами є ще простіші структурні компоненти, що називають поняття. З погляду смислової одиниці просте судження є самостійною ланкою, що має значення істинності.

Висловлювання, що пов'язує предмет та його ознака, містить перше та друге поняття. Пропозиції такого типу включають:

• - Слово, що відображає предмет судження – це суб'єкт, що позначається S.
• - Предикат – відображає ознаку предмета, його позначають літерою Р.
• - зв'язку - слово, покликане поєднувати обидва поняття між собою («є», «є», «не є», не є»). У російській для цього можна використовувати тире.

  «Ці тварини – хижаки» – просте судження.

  

  Види суджень

  Прості висловлювання класифікують за:

  • якості;
  • кількості (за обсягом суб'єкта);
  • змісту предикату;
  • модальності.

  Судження з якості

  Однією з основних, важливих логічних характеристик є якість. Сутність у разі проявляється у можливості розкривати відсутність чи наявність тих чи інших відносин між поняттями.

  Залежно від якості такої зв'язки розрізняють дві форми суджень:

  • - Ствердна. Розкриває наявність певного зв'язку між суб'єктом та предикатом. Загальна формула такого твердження має вигляд: "S є Р". Приклад: "Сонце є зіркою".
  • - Негативна. Відповідно, відображає відсутність будь-якого зв'язку між поняттями (S та Р). Формула негативного судження - це «S не є Р». Наприклад: «Птахи є ссавцями».

  

  Такий поділ дуже умовно, оскільки будь-яке твердження у прихованому вигляді містить заперечення. І навпаки. Наприклад, фраза "це море" означає, що суб'єкт - не річка, не озеро і так далі. А якщо «це не море», то, відповідно, щось інше, можливо, океан чи затока. Ось чому одне висловлювання може бути виражене у формі іншого, а подвійне заперечення відповідає утвердженню.

  Різновиди ствердних суджень

  Якщо частка «не» стоїть перед зв'язкою, а є складовою предиката, такі висловлювання називають ствердними: «Прийняте рішення було неправильним». Виділяють два різновиди:

  • - Позитивного властивості, коли «S є Р»: «Собака домашня».
  • - Негативного характеру, коли «S є не-Р»: «Суп несвіжий».

  Різновиди негативних суджень

  Аналогічно серед негативних висловлювань розрізняють:

  • - З позитивним предикатом, формула «S не є Р»: «Оля не їла яблуко»;
  • - З негативним предикатом, формула «S не є не-Р»: «Оля не може не піти».

  Важливість негативних суджень полягає у їх участі для досягнення істини. Вони відображають об'єктивну відсутність чогось у чогось. Не дарма кажуть, що негативний результат також є результатом. Встановлення того, чим не є предмет і які якості не має, також важливо в процесі роздумів.

  

  Судження щодо кількості

  Ще однією характеристикою, що базується на знанні логічного обсягу суб'єкта, є кількість. Виділяють такі види:

  • Поодинокі, що містять інформацію про одного суб'єкта. Формула: "S є (не є) Р".
  • -Приватні – це ті, які мають судження про частину предметів окремого класу. Залежно від певності цієї частини розрізняють: певні ("Тільки деякі S є (не є) Р") та невизначені ("Деякі S є (не є) Р").
  • -Загальні містять твердження чи заперечення про кожен предмет розглядуваного класу («Всі S є Р» або «Жоден S не є Р»).

  

  Об'єднані судження

  Багато висловлювань мають одночасно і якісну, і кількісну характеристику. Їх застосовується об'єднана класифікація. Це дає чотири види суджень:

  • - Загальноствердне: «Всі S є Р».
  • - Загальнонегативне: «Жоден S не є Р».
  • - Приватностверджувальне: «Деякі S є Р».
  • - Приватнонегативне: «Деякі S не є Р».

  Різновид суджень щодо змісту предикату

  Залежно від смислового навантаження предикату виділяють висловлювання:

  • - властивості, чи атрибутивні;
  • - Відносини, або релятивні;
  • - існування, чи екзистенційні.

  Прості судження, що розкривають прямий зв'язок між предметами думки, незалежно від її змісту, називають атрибутивними або категоричними. Наприклад: «Ніхто немає права позбавляти життя іншого». Логічна схема атрибутивного висловлювання: «S є (чи немає) Р» (суб'єкт, зв'язка, предикат відповідно).

  Релятивні судження - це висловлювання, у яких предикат висловлює наявність чи відсутність зв'язку (відносин) між двома і більше предметами з різних категорій (час, місце, причинна залежність). Наприклад: «Петя приїхав раніше за Васю».

  Якщо предикат вказує на факт відсутності чи наявності зв'язку між предметами чи самого об'єкта думки, такий вислів називають екзистенційним. Тут предикат виражається словами: "є/ні", "був/не був", "існує/не існує" і так далі. Приклад: "Немає диму без вогню".

  

  Модальність суджень

  Крім загального змісту, висловлювання може нести додаткове смислове навантаження. За допомогою слів "можливо", "мізерно", "важливо" та інших, а також відповідних заперечень "не дозволено", "неможливо" та інших виражається модальність судження.

  Існують такі види модальності:

  • -Алетична (справжня) модальність. Висловлює зв'язок між предметами думки. Модальні слова: "можливо", "випадково", "необхідно", а також їх синоніми.
  • -Деонтична (нормативна) модальність. Належить до норм поведінки. Слова: «забороняється», «обов'язково», «дозволяється», «дозволено» тощо.
  • -Епістемічна (пізнавальна) модальність характеризує ступінь достовірності («доведено», «спростовано», «сумнівно» та їх аналоги).
  • -Аксіологічна (ціннісна) модальність. Відображає ставлення людини до будь-яких цінностей. Модальні слова: «погано», «байдуже», «неважливо», «добре».

  Вираз ставлення до змісту висловлювання у вигляді затвердження модальності, зазвичай, що з емоційним станом, визначають як оціночне судження. Наприклад: "На жаль, йде дощ". У цьому випадку відображається суб'єктивне ставлення того, що говорить до того, що йде дощ.

  

  Структура складного висловлювання

  Складні міркування складаються з простих, з'єднаних між собою логічними спілками. Подібні зв'язки використовуються як ланка, здатна поєднати пропозиції один з одним. Крім логічної прив'язки, що у російській мові має форму спілок, ще використовуються квантори. Вони бувають двох форм:

  • -Квантор спільності - це слова «все», «кожен», «жоден», «будь-який» тощо. Пропозиції в даному випадку виглядають наступним чином: «Усі предмети мають певну властивість».
  • -Квантор існування - це слова "деякі", "багато", "трохи", "більшість" і так далі. Формула складної пропозиції в цьому випадку: «Існують деякі об'єкти, які мають певні властивості».

  Приклад складного судження: «Рано вранці закукарек півень, він мене розбудив, тому я не виспався».

  

  Здатність до судження

  Вміння будувати висловлювання приходить до людини із віком, поступово. Приблизно до трьох років дитина вже може вимовляти прості пропозиції, що щось констатують. Розуміння логічних зв'язків, граматичних спілок є необхідною і достатньою умовою для правильного судження з конкретного приводу. У процесі розвитку людина навчається узагальнювати інформацію. Це дозволяє йому, ґрунтуючись на простих судженнях, будувати складні.

3 РОЗДІЛ. Логіка висловлювань Під висловлюванням (судженням) розуміють форму думки, яка виражає відповідність чи невідповідність її дійсності. Так, ще великий античний філософ Платон стверджував, що "той, хто говорить про речі відповідно до того, які вони є, говорить істину, той, хто говорить про них інакше - бреше".

У традиційній логіці, яка обмежувалася вивченням зв'язку між речами та їх властивостями, загальноприйнятим вважався термін "судження", в сучасній логіці вважають за краще говорити швидше про висловлювання. Однак ці терміни розглядаються як синоніми, і тому надалі ми вживатимемо їх як рівнозначні.

Висловлювання входять як складова частина в будь-який висновок або як посилка, або як результат міркування. Між посилками та висновками будь-якого міркування існує певний логічний зв'язок. У дедуктивних висновках, які ми розглядатимемо у цій і наступних розділах, цей зв'язок має характер логічного слідування чи висновку, у правдоподібних – характер імовірнісного відношення, коли посилка лише з тим чи іншим ступенем правдоподібності підтверджує висновок.

Сучасна дедуктивна логіка починає вивчення висловлювань, відволікаючись від своїх внутрішньої структури, і розглядає їх як істинні, чи як хибні. Як ми переконаємося далі, саме такий підхід є основою для побудови обчислення висловлювань і дозволяє поводитися з міркуваннями як з обчисленнями. Надалі цей підхід, обмежений і занадто абстрактний, може бути подолано шляхом зняття таких обмежень. Саме з цією метою будується логіка предикатів, у якій розглядається логічний зв'язок між предметами та характеризуючими їх предикатами. Однак на відміну від традиційної логіки під предикатамиТепер маються на увазі як властивості, а й різні відносини між предметами.

Хоча у висловлювання як терміни включаються і поняття, але вони в пізнанні грають зовсім іншу роль. Як ми переконалися раніше, поняття відокремлюють одні класи предметів від інших за їх відмітними ознаками. У мові вони виражаються одним ім'ям, що є або окреме слово, або поєднання слів. Висловлювання формулюються за допомогою пропозицій.

3.1. Висловлювання та пропозиція

Сама собою думка, поки вона не виражена в мові, залишається для нас невідомою. Саме тому замість судженнянерідко користуються більш нейтральним терміном "висловлювання",який підкреслює, що йдеться саме про думку, сформульовану, висловлену, яка перекладається пропозицією у сферу мови. У зв'язку з цим постає питання, чи слід розуміти під висловлюванням думка разом із пропозицією, як засобом мовного вираження думки.

На це питання вчені відповідали по-різному, і воно було предметом численних дискусій. Якщо не відокремлювати думку від засобів її вираження, то одна й та сама думка, висловлена ​​різними мовами, представлятиме різні міркування. Але в такому разі були б неможливі передачі думки і переклад з однієї мови на іншу. Тому критики цієї точки зору, серед яких можна назвати таких визначних логіків, як Г.В. Лейбніц, Б. Больцано, Г. Фреге та інші, заявляли, що думку і судження слід розглядати в абстракції, відволіканні від засобів її вираження. Одна й та сама думка може звучати і формулюватися по-різному в різних мовах, але її зміст чи зміст можна розглядати як деяку абстракцію, взяту окремо від її мовного вираження.

Як уже зазначалося в попередньому розділі, нерідко у звичайній промові не проводять чіткої різниці між змістом та значенням мовного вираження, внаслідок чого можуть виникнути неясність і навіть плутанина. Щоб уникнути їх, у логіці під значенням мовного вираження розуміють той предмет, який воно позначає, а змістом називають зміст або інформацію, яку він повідомляє.

Сенс висловлювання виражається змістом чи інформацією, що він повідомляє. Однак, на відміну від конкретних імен, які позначають реальні предмети, висловлювання мають своїми значеннями абстрактні об'єкти: "істину" та "брехню".
Принципова відмінність між судженнями (висловлюваннями), як логічними категоріями, і пропозиціями, як граматичними категоріями, полягає в тому, що тільки судження в строгому сенсі слова можуть розглядатися як істинні і хибні, пропозиції ж можуть характеризуватись як правильно або неправильно побудовані.
Така відмінність безпосередньо випливає з того, що судження ми визначаємо як думка, що відноситься до дійсності, яка стверджує чи заперечує наявність властивостей предметів або відносини між самими предметами. Якщо предметам насправді властива така властивість чи ставлення, то судження буде істинним, інакше – хибним. Оскільки судження висловлюється пропозицією, остільки іноді говорять про істинність і хибність речень, хоча це й не так.

3.2. Логічна структура висловлювань

Більшість суджень, з якими ми зустрічаємося у науці і особливо у повсякденному житті, є атрибутивними. В арістотелівській логіці саме такі міркування лише й аналізувалися. Їхня логічна структура може бути виражена схемою:

Sє Р,

Де Sозначає суб'єкт, тобто. предмет думки, а Р –предикат, який позначає властивість, властиву предмету думки; термін "є (або "суть") – логічний зв'язок між суб'єктом і предикатом, тобто належність властивості предмета.

Якщо такий зв'язок відсутній, то судження буде негативним і виражається схемою:

Sне їсти Рабо Sє не-Р.

Уреляційних (Лат. relatio - віднесення) судженнях, судженнях про відносини, які стали вивчатися в середині минулого століття, йдеться про відносини між різними предметами. Так, у судженні "Твер знаходиться між Санкт-Петербургом і Москвою" характеризується відношення у просторі, яке існує між зазначеними містами; у судженні "Ельбрус вище за Монблан" - ставлення по висоті між гірськими вершинами; у судженні "Михайло - брат Георгія" - ставлення кревності між братами. Найчастіше судження про відносини зустрічаються у математиці; з їхнього дослідження і почалася розробка логіки відносин.

У сучасній логіці властивості та відносини позначаються загальним терміном "предикат" (лат. praedicatum - присудок), в якому розрізняють кількість місць. Так, властивість називають одномісним предикатом,а ставлення "більше ніж"або "вище, ніж", "старше, ніж"і т.д. - двомісним (бінарним)ставленням. Докладніше мова про відносини піде в наступному розділі, тут же ми продовжимо розгляд суджень традиційної логіки щодо якості та кількості.

Термін "якість" використовується в логіці виключно для характеристики приналежності або неналежності якостей предмета.

За якістю судження можуть бути ствердними чи негативними. Як показує сама їх назва, ствердниминазиваються судження, у яких говориться ( " стверджується " ) про належність якості предмета чи присутності предикату суб'єкту, тобто. Sє Р.Наприклад, "всі метали - провідники електрики", "логіка - наука", "деякі гриби отруйні".

Негативниминазиваються судження, у яких заперечується наявність якості у предмета (непритаманність предикату суб'єкту), тобто. S не є Рабо Sє не-Р.Наприклад, "ніщо людське мені не чуже", "кит - не риба", "астрологія - не наука". Формально негативні судження можуть бути перетворені на ствердні, в яких перед предикатом стоїть заперечення:

Sє не-Р.

За кількістю судження поділяються на загальні, приватніі поодинокі.Оскільки в судженні виражається наявність або відсутність властивості (відносини) у предметів, ми можемо виділити серед них такі, в яких властивість (ставлення), що нас цікавить, належать всім, кільком і навіть одиничному предмету. Вочевидь, що ставлення вимагає наявності щонайменше двох предметів, тоді як належність властивості передбачає існування лише одного предмета. Характеристика суджень за кількістю визначає сферу їх застосування, тобто. їхнє значення (денотат). Ця область може складатися з усіх предметів класу, або деяких або навіть одного предмета. Так, судження "всі метали електропровідні" називатиметься загальним, судження "деякі риби - літаючі" - приватним, судження "Москва - столиця Росії" - одиничним. Оскільки загальні та приватні судження можуть бути ствердними та негативними, їх можна класифікувати на чотири групи:

1) загальноствердні,представлені схемою: "все Sє Р".Вони властивість чи предикат належить до кожного предмета, що входить у клас;

2) загальнонегативнівидаються схемою: "жоден Sнемає Р";

3) приватноствердні:"деякі Sє Р";

4) приватнонегативні:"деякі Sне їсти Р".

Така класифікація стане нам у нагоді при вивченні силогізмів у наступному розділі.

Вивчення логічної структури суджень дозволяє виділити їхню логічну форму. З цією метою ми абстрагуємося, відволікаємося від конкретного змісту та змісту речень, за допомогою яких вони виражені в мові, і зосереджуємо увагу лише на тому, як логічно пов'язані елементи судження один з одним. Саме так підійшов до аналізу думок засновник класичної логіки Аристотель, який використовував для позначення логічних термінів деякі символи. Однак його формалізація природної мови була неповною та обмеженою. Для того щоб виявити логічну форму висловлювання чи міркування, вираженого природною мовою, необхідно відволіктися від дескриптивних (описових) термінів мови та подати їх як змінні – на кшталт змінних величин математики. В результаті ми отримаємо скелет висловлювання чи міркування, в якому зберігаються лише логічні терміни та стосунки між ними.

Таким чином, для виявлення логічної форми необхідно мати формалізованим мовою, тобто. побудувати символічну, штучну мову, яку нерідко ототожнюють з обчисленням.

Формалізована логічна мова будується не стільки для скорочення записів та зручності спілкування, скільки для обґрунтування правильності міркувань, що здійснюються природною мовою. Ще в минулому столітті відомий німецький логік та математик Готлоб Фреге звертав увагу на те, що штучні мови, зокрема в математиці та логіці, будуються на шкоду легкості та стислості спілкування, в чому ви переконаєтеся після знайомства із символічними мовами логіки.

Знайомство з такими мовами ми почнемо з логіки висловлювань.Це найпростіший мову, у якому зовсім відволікаються від внутрішньої логічної структури висловлювання і розглядають її як ціле: кожне висловлювання характеризується лише з погляду його істиннісного значення, тобто. як справжнє чи хибне. Самі висловлювання ми позначатимемо змінними х, у,z,..., х 1, у 1, z 1. Кожна змінна може набувати лише двох значень: "істину" і "брехня", які можна позначити як 1 і 0. Елементарні (атомарні) висловлювання можуть об'єднуватися в складні (молекулярні) висловлювання за допомогою логічних операторів,які називають також зв'язками, конекторамиабо константами.Як ми побачимо надалі, вони приблизно відповідають деяким граматичним союзам. Знаючи істиннісне значення елементарних висловлювань і правил оперування логічними зв'язками, легко визначити істиннісне значення складних висловлювань, які будуть як певні логічні функції. Подібно до того, як у математиці шляхом завдання аргументів обчислюють значення математичної функції, у логіці висловлювань визначають значення логічної функції, утвореної з елементарних (атомарних) висловлювань. Аналогія з термінологією, запозиченої з хімії, наочно показує, як процес утворення молекулярних висловлювань з атомарних, і особливо те що, що висловлювання, що є елементарним, вважається далі нерозкладним на частини.

Неважко зрозуміти, що таке уявлення про висловлювання вкрай спрощує справу і є абстракцією, але дає можливість краще зрозуміти структуру міркувань на найпростішому рівні. Надалі можна вносити уточнення, доповнення до цієї структури, щоб висловити реальний внутрішній зв'язок між елементами висловлювань. Як ми покажемо в гол. 5 саме для цього будується логіка предикатів, де в міркуваннях враховується внутрішня структура висловлювань. Зазначений спосіб аналізу дає можливість зрозуміти, як відбувається перехід від простих логічних систем до складних за допомогою збільшення істиннісних значень та введення додаткових логічних операцій. Це належить насамперед до істиннісних значень висловлювань. Поряд із звичними двома значеннями істинності (істина і брехня) класичної логіки в сучасній некласичній логіці розглядають кілька значень істинності, наприклад "істинно", "хибно" та "невизначено". У імовірнісній (індуктивній) логіці оперують навіть нескінченною кількістю значень істинності, оскільки ймовірність має безперервну шкалу значень в інтервалі 0 X1.

Крім того, висловлювання можна аналізувати не за їх істинним значенням, а оцінювати з точки зору обґрунтованості знання, що міститься в ньому, або ставлення до нього пізнаючого суб'єкта за допомогою модальних категорій. Про них ми докладніше скажемо наприкінці цього розділу. Класична двозначна логіка є найпростішою логічною системою, в якій найлегше зрозуміти, як утворюються складні висловлювання з простих і як визначаються самі логічні операції над ними.

3.3. Способи утворення складних висловлювань

1) шляхом квантифікації висловлювань;

2) об'єднанням простих чи елементарних висловлювань за допомогою логічних зв'язок чи операторів.

Перший спосіб є методом отримання загальних суджень шляхом використання логічних кванторів, що характеризують обсяг судження. Перш ніж перейти до його обговорення, розглянемо поняття функції-висловлювання,яке відіграє важливу роль у логіці.
Висловлювання у функції-висловлюванні оцінюються з погляду їх істиннісного значення, тому така функція називається також істиннісною функцією.Вона утворюється за аналогією з математичною функцією, але на відміну від останньої, аргументами в ній є не числа та інші математичні об'єкти, а логічні об'єкти – висловлювання. У зв'язку з цим її називають також пропозиційною функцієюабо – що менш милозвучно – висловлювальною функцією.Значеннями її аргументів та самої функції є "істина" та "брехня". Таким чином, тут ми маємо справу з функцією пропозиції двозначної класичної логіки.
Щоб визначити поняття пропозиціональної функції, розглянемо такі приклади:

х- просте число;

у- Метал;

z– студент.

За формою ці висловлювання нагадують висловлювання, але де вони визначають жодного конкретного висловлювання, бо містять змінні, значення яких залишається невідомим. Тут напрошується аналогія з функціями алгебри або формулами, які можуть виражати конкретні арифметичні залежності. Так, наприклад, лінійна функція у =ax +внабуває цілком певного значення, якщо замість постійних і змінних підставляються конкретні числа.

Так само пропозиційні функції логіки перетворюються на конкретні висловлювання, якщо замість логічних змінних підставляються певні імена. Так, у першому прикладі, якщо замість хпідставити число 3, то вийде справжнє висловлювання "3 – просте число". Якщо ж замість хпідставляється число 4, то вийде хибний вислів "4 - просте число". Відповідно цьому у другому прикладі, якщо замість упідставити "залізо", то вийде справжнє висловлювання "залізо-метал". Якщо замість упідставляється "фосфор", то вийде хибне висловлювання "фосфор - метал".

Нарешті, у прикладі, якщо замість змінної підставити прізвище студента Іванова, то вийде справжнє висловлювання " Іванів – студент " . Отже, одні значення змінних задовольняють пропозициональным функцій, інші немає, тобто. у першому випадку вони перетворюють їх на істинні, у другому – на хибні, але в обох випадках роблять їх певними, конкретними висловлюваннями.
Звідси легко дати визначення пропозиційноюфункції, під якою ми розумітимемо будь-який вираз, що містить змінні, які при підстановці замість них постійних перетворюють вираз у конкретне висловлювання.
Тут проглядається явна аналогія між логічними, пропозиційними та математичними функціями. Але аналогія не означає тотожності, тому що в пропозиціональної функції замість змінних можна підставляти імена не тільки чисел, а й будь-яких нематематичних об'єктів, як показують другий і третій приклади. З цього погляду пропозициональная функція є більш глибокої абстракцією, ніж математична функція, хоч і аналогічна їй.

Щоб перетворити пропозиційні функції на справжні висловлювання, можна, по-перше, надати змінним конкретні значення, як було показано вище; по-друге, можна піти лінією квантифікації висловлювань. Для пояснення звернімося, наприклад. Вираз

x + y = y + x

Можна перетворити на конкретне висловлювання, якщо замість змінних хі увзяти певні числа. Але можна отримати висловлювання загального характеру, якщо ми зв'яжемо змінні кванторами,які показують, що тотожність виконується для всіх чисел. Тому ми можемо записати його у такій формі:

(х)(у)(х + у = у + х),

Де (х)і (у)позначають квантори спільності,які часто називають також Універсальними кванторами.Ця формула виражає справжнє загальне висловлювання, відоме як комутативний (переміщувальний) закон для додавання, який зазвичай словесно передають так: сума не змінюється від перестановки доданків.

За допомогою висловлювань із універсальним квантором формулюються загальні закони науки, зокрема математичні закони, теореми та їх наслідки. Зверніть увагу, що термін "універсальний" стосується лише загальних висловів певної предметної галузі, наприклад, математики, фізики, економіки та інших наук. Вочевидь, що у математиці в повному обсязі висловлювання мають універсальний характер. Наприклад, формула х + у= 5 задовольняється лише за певних числових значеннях змінних, саме тоді, коли х = 1 та у= 4, або х = 2 та у= 3, або х = 3 та у= 2, або

х = 4 та у= 1. Тому не можна стверджувати, що ця рівність виконується всім чисел. Можна лише сказати, що є числа, які задовольняють рівності х + у= 5. Замість слів " існують числа хі у"можна запровадити квантор існування. Тоді вказану рівність можна представити у такій символічній формі:

(Ех) (Еу) (х + у = 5),

Де (Їх)і (Еу) - Квантори існування.

У традиційній логіці ці висловлювання називають приватними судженнями. Такі судження оцінюються як справжні чи хибні.

Таким чином, один із способів утворення висловлювань полягає в тому, що спочатку ми складаємо пропозиційну функцію, де фігурують відповідні змінні, а потім пов'язуємо їх кванторами спільності та існування. Завдяки цьому виходять загальні та приватні висловлювання.

Принципово інший шлях утворення складних (складових) висловлювань полягає в об'єднанні двох або кількох простих висловлювань за допомогою логічних операторів або зв'язок, які виражаються термінами "і", "або", "якщо, то" та ін. Цей спосіб нагадує граматичний прийом освіти складних пропозицій шляхом використання авторських та підрядних спілок. Так, у пропозиції "Зоря сяяла на сході, і золоті ряди хмар, здавалося, очікували сонце", теж використовується союз "і", що пов'язує дві прості пропозиції.

Однак логічні зв'язки відрізняються від граматичних спілок тим, що вони об'єднують судження не за їхнім змістом, а лише за значенням їхньої істинності. На відміну від цього граматичні союзи поєднують пропозиції щодо їхнього змісту, надаючи складній пропозиції певний цілісний, єдиний зміст.
Таким чином, при логічному об'єднанні висловлювань абстрагуються від конкретного змісту та змісту висловлювань. Тому з погляду повсякденного свідомості деякі логічні операції здаються явно парадоксальними. Саме тому початківці вивчати логіку тут стикаються з найбільшими труднощами. Щоб їх подолати, необхідно з самого початку зрозуміти, що логічний підхід є загальнішим, і тому він не може враховувати всі конкретні особливості вживання спілок у граматиці.

3.4. Основні логічні операції над висловлюваннями

1. Будь-яке висловлювання в класичній логіці має одне і лише одне з двох значень істинності - "істину" або "брехня". З цього погляду істинне значення майбутніх подій залишається невизначеним.

2. Значення істинності складного висловлювання залежить виключно від істиннісних значень простих висловлювань, що входять до нього. Тому істиннісне значення складного висловлювання є функцією істинності від утворюють його простих висловлювань.

3. При освіті складних висловлювань враховується лише істинне значення простих висловлювань, що входять до нього, а не їх зміст.

Визначення логічних операцій

Найпростішою з логічних операцій є заперечення, здопомогою якого з цього висловлювання утворюється висловлювання, що суперечить йому. У звичайній мові операція виражається словами "невірно, що" або просто "не", у символічній - знаком заперечення, поставленим перед висловом. Якщо дано висловлювання х,то його заперечення буде - x. У звичайній мові заперечення найчастіше стоїть перед дієсловом і іменною частиною присудка. Наприклад, запереченням висловлювання "2 є парне число" буде вислів "Невірно, що 2 є парне число", яке є хибним. Заперечуючи його, отримаємо вислів "Невірно, що 2 не є парне число", яке рівнозначно висловлюванню "2 є парне число". Це означає, що подвійне заперечення призводить до первісного висловлювання. Зверніть увагу, що висловлювання, отримане шляхом заперечення первісного, суперечить йому, тобто. воно заперечує щось, але не стверджує щось. Так, коли ми говоримо, що "цей аркуш паперу не білий", то не стверджуємо, що він зелений, синій чи фіолетовий.

Для визначення заперечення використовується матриця (таблиця) істинності, у якій лівої колонці даються два значення істинності ( " істина " і " брехня " ) початкового висловлювання, а правої колонці – його заперечення (табл.1). Істинність висловлювання позначатиметься буквою "і" або числом 1, брехня – буквою "л" і числом 0.

Якщо вислів істинний, то висловлювання, що суперечить йому, буде хибним, і, навпаки, якщо висловлювання хибним, то суперечливий вислів буде істинним.

Кон'юнкція(логічний твір) двох або кількох простих висловлювань утворюється шляхом їх об'єднання логічним зв'язуванням "і". Наприклад, якщо позначити один із простих висловлювань буквою х,а інше – у,тоді їхньою кон'юнкцією буде складне висловлювання "х і у" або "ху",де знаком  позначений кон'юнктивний оператор (логічний зв'язок). Прості висловлювання, що входять до складного, називаються кон'юнктивними членами.

Кон'юнкція вважатиметься істинною, якщо тільки якщо всі її кон'юнктивні члени будуть істинними. Наявність хоча б одного хибного члена перетворює всю кон'юнкцію на хибне висловлювання. Тому неважко побудувати таблицю істинності для кон'юнкції (табл. 2).

Диз'юнкція (логічна сума) двох або кількох простих висловлювань утворюється шляхом об'єднання їх логічним зв'язуванням "або". Союз "чи" у мові найчастіше вживається у винятковому сенсі, коли відбувається вибір між двома альтернативами: або одне, або інше. Рідше використовується цей союз у винятковому сенсі, тобто. виражається словом "а також". У логіці та математиці зв'язка "або" використовується переважно в невиключному сенсі. Так, наприклад, диз'юнкція "2 менше 3 або 3 менше 5" розуміється в невиключному сенсі, так як не тільки 2, а й 3 менше 5.

Невиключна диз'юнкція вважається хибною в тому і лише в тому випадку, коли всі її диз'юнктивні члени будуть хибними. Тому достатньо одного істинного члена, щоб диз'юнкція була істинною. Виключаюча диз'юнкція істинна тоді, коли тільки один із її членів є істинним, а інший – хибним. Вона буде хибною, якщо обидва її члени одночасно істинні чи хибні. Оператор диз'юнкції позначається символом  – для диз'юнкції, що не виключає, і символом  – для диз'юнкції, що виключає.

Враховуючи прийняті угоди, ми можемо побудувати таблиці істинності (табл. 3) для невиключної (ліворуч) і диз'юнкції, що виключає (праворуч).

Операція імплікації полягає у освіті складного висловлювання із двох простих висловлювань у вигляді логічного зв'язки, позначеної словами " якщо..., то... " і приблизно відповідної умовному реченню в природному мові. У логіці цю зв'язку називають імплікацією,і ми позначатимемо її стрілкою.

Умовний вислівскладається із двох простих висловлювань. Те з них, яке вводиться словом "якщо", називається антецедентом(попереднім висловом), а також основою, а слово "те", що починається, – консеквентом(наступним висловлюванням) або наслідком умовного висловлювання.

У науці та повсякденному мисленні умовні висловлювання використовуються встановлення зв'язку між висловлюваннями, які можуть мати різну форму. За допомогою понять антецедента та консеквенту визначаються необхідні та достатні умови. Так, антецедент є достатньо умова (підстава) для консеквента (наслідки). Наприклад, у висловлюванні "Якщо трикутник має рівні сторони, то і всі його кути будуть рівні" умова рівності сторін є достатньою умовою (підставою) для слідства - рівності його кутів. Одночасно з цим можна сказати, що слідство є необхідною умовою для основи, оскільки "Рівність кутів трикутника є необхідною умовою для рівності його сторін".

У звичайній мові часто не проводять відмінності між підставою та наслідком, як логічним ставленням, і причиною та наслідком, як ставленням реального світу. Переконатися в наявності причинного зв'язку можна лише шляхом конкретного дослідження явищ навколишнього світу. Якщо одне явище викликає чи породжує інше явище, то перше ми називаємо причиною, а друге – наслідком. Так, нагрівання стрижня – причина – викликає його подовження – наслідок. Цю залежність ми встановлюємо емпірично – шляхом спостереження та виміру. Логічне відношення між підставою та наслідком не потребує емпіричного дослідження, оскільки встановлюється за допомогою суто логічних міркувань. У прикладі рівність кутів рівностороннього трикутника виводиться як геометрична теорема.

Умовні висловлювання використовуються висловлювання найрізноманітніших відносин між висловлюваннями, але не завжди при цьому враховується їх зміст і зміст. У сучасній логіці звертається увага виключно на зв'язок між висловлюваннями за значенням їхньої істинності, тому що завдання логіки полягає в тому, щоб гарантувати істинність укладання з справжніх посилок, а для цього необхідно перенести істинність з посилок на висновок. У зв'язку з цим у логічній імплікації абстрагуються (відволікаються) від змісту та змісту та звертають увагу лише на зв'язок висловлювань за значенням їхньої істинності. У результаті можна розглядати імплікації, які виглядають безглуздими та парадоксальними з погляду звичайного, здорового глузду. Наприклад, "Якщо 2 х 2 = 5, то Москва - велике місто" вважається не тільки допустимою, а й справжньою імплікацією.
Таким чином, імплікація враховує всі випадки розподілу значень істинності і вважається хибною лише тоді, коли її антецедент є істинним, а консеквент кладеним.
Наприклад, імплікація "Якщо 2 х 2 = 4, то Москва - невелике місто" є хибною, оскільки її антецедент - справжнє висловлювання, а консеквент - хибне.
Звідси зрозуміло, що імплікація висловлює найважливіше властивість правильних міркувань. Відомо, що з справжніх посилок не можна отримати хибне висновок, якщо міркувати правильно. Цей фундаментальний принцип є основою всієї дедуктивної логіки і зберігається щодо операції імплікації.
Розподіл значень істинності висловлювань для імплікації представлено табл.4 де стрілка позначає імплікацію.

Різка розбіжність між вживанням умовних висловлювань у природній мові та сучасній логіці породила чимало суперечок та дискусій, у яких логіків звинувачували в тому, що вони не враховують смислового зв'язку між висловлюваннями, і тому приходять до безглуздя. Але як підкреслювалося вище, логіки розглядають умовне висловлювання лише як імплікації, тобто. з погляду значень істинності антецедента та консеквенту. Імплікація є операцією формалізованої мови, а не конкретним умовним висловлюванням, яке може розумітися по-різному в різних контекстах (причинний зв'язок, відношення між достатніми та необхідними умовами, зв'язок основи та слідства тощо). Коли не враховується відмінність між формалізованою і природною мовою, міжімплікативним і умовним висловлюваннями, тоді неминуче виникають парадокси імплікації, найбільш відомі з яких пов'язані з ототожненням імплікації з логічним слідуванням. Той факт, що в імплікації справжній консеквент виходить з будь-якого антецедента - істинного і хибного, стали тлумачити як твердження, що істина лідує. ч е г о у го д н о. Або іншими словами, що хибний антецедент імплікує будь-який – істинний чи хибний – консеквент, почали інтерпретувати як твердження, що з хибного висловлювання випливає будь-яке висловлювання. Але ці твердження не узгоджуються з нашими інтуїтивними уявленнями, і тому виступають як парадокси так званої матеріальної імплікаціїВ останні десятиліття були зроблені зусилля щодо подолання цих парадоксів та пошуку таких логічних понять, які адекватніше відобразили б смисловий зв'язок в умовних висловлюваннях. Все питання, однак, полягає в тому, як виявити такий зв'язок у загальному вигляді, незалежно від конкретного змісту антецеденту та консеквенту. Принаймні імплікації, претендують відображення сенсу, будуть свідомо вужчими, ніж поняття матеріальної імплікації.

Операція еквівалентності поєднує два висловлювання, що мають однакові значення істинності. Отже, будуть еквівалентними, з одного боку, справжні висловлювання, з другого – висловлювання хибні. Інакше висловлювання вважаються не еквівалентними. Виходячи з цього, легко побудувати таблицю істинності для еквівалентності, символом якої служить стрілка з протилежними кінцями (табл. 5).

Еквівалентність можна висловити природною мовою словами "якщо і тільки якщо", і в такому вигляді вона часто зустрічається у формулюванні наукових визначень.

Крім табличного визначення, логічні операції (за винятком заперечення) можна визначити через інші, з обов'язковим використанням заперечення. Справді, застосувавши табличний метод (табл. 6), можна переконатися, що вирази (х?у)і (¬y??x) будуть еквівалентними, тобто. (х?у) ? (¬у?¬x).

Кожен рядок першої імплікації та другої конверсної (зворотної), отриманої перестановкою заперечень консеквенту та антецедента першої, збігаються один з одним. Отже, зазначені імплікації будуть еквівалентні.

За допомогою таблиць істинності можна перевірити, що й інші логічні операції можна визначити через Інші дві, причому другою операцією завжди буде заперечення. Наприклад, диз'юнкцію можна виразити через кон'юнкцію: (х  у) ? (¬ x¬y).

Спосіб встановлення істинності складних висловлювань, утворених із простих за допомогою таблиці, було запропоновано американським логіком Ч.С. Пірсом і виявився дуже зручним. Як ми бачили, цей спосіб ґрунтується на комбінації значень істинності простих висловлювань та подальшого визначення істинності складних висловлювань, утворених за допомогою операцій заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції та імплікації. Наприклад, коли є два висловлювання, то число різних комбінацій з їх значень істинності буде рівним 4, при трьох – 8, при чотирьох – 16, а отже, при заданому числі пвоно дорівнює 2ⁿ. Звідси неважко помітити, що визначення істинності складного висловлювання зводиться по суті до обчислення її з урахуванням значень істинності простих висловлювань. Це враження посилиться, якщо ми позначимо істину як 1, а брехня як 0 і їх комбінуватимемо, щоб утворити заперечення, кон'юнкцію, диз'юнкцію і т.д. Як ілюстрацію обчислимо значення істинності наступного виразу: ( х  y) ? (xz).


При певному навичці процес обчислення можна прискорити, звернувши основну увагу на основну операцію, яка пов'язує дві частини формули. У наведеному прикладі (табл. 7) досить помітити, що хибна імплікація виникає при істинному антецеденті та хибному консеквенті. Звідси легко визначити можливі значення хі уу диз'юнкції (х  у),а також значення хі zу кон'юнкції (х z). Такий скорочений спосіб обчислення істинності складного висловлювання ґрунтується на встановленні головної логічної операції у аналізованій формулі.

Закони логіки висловлювань

Такі закони є тотожно істинні висловлювання, тобто. висловлювання, що залишаються істинними при будь-яких значеннях простих висловлювань, що входять до них. У справедливості цього твердження можна переконатися знов-таки з допомогою таблиць істинності. У принципі, всі тотожно істинні висловлювання є законами логіки (або обчислення висловлювань). Ми перерахуємо лише основні з них.

Закон тотожності : якщо х,то х,тобто. х? х.

Закон спрощення: якщо хі у,то х,тобто. ху?х.Те саме стосується іншого кон'юнктивного члена:

x  y ? y

Закон еквівалентності: якщо з хслід у,а з услід х,тоді висловлювання еквівалентні, тобто.

x ? y.

Закон гіпотетичного силогізму: якщо з хслід у,а з услід z,то з хслід z, тобто.

((x ? y)  (y ? z)) ? (x ? z)

Закон подвійного заперечення: якщо з хслід не-х,то заперечення останнього призводить до первісного висловлювання:

¬ (¬ x) ? x

Закони О. де Моргана дають можливість переходити від кон'юнкції до диз'юнкції та, навпаки, від диз'юнкції до кон'юнкції. Вони є зручним засобом для перетворення висловлювань:

а) заперечення кон'юнкції висловлювань еквівалентно диз'юнкції з заперечень кон'юнктивних членів:

¬ ( x  y) ? (¬ x  ¬ y)

Б) заперечення диз'юнкції еквівалентно кон'юнкції заперечуваних членів диз'юнкції:

¬ ( x  y) ? (¬ x  ¬ y)

Закон "поглинання": кон'юнкція чи диз'юнкція однакових висловлювань еквівалентна самому висловлюванню, тобто. повторюваний член "поглинається":

(x x) ? xі ( x  x) ? x.

Комутативні закони длякон'юнкції та диз'юнкції дозволяють перестановку їх членів:

(x  y) ? (x  y) та ( x  y) ? (y  x).

Асоціативні закони для кон'юнкції та диз'юнкції дозволяють по-різному поєднувати члени, тобто. по-іншому розставляти дужки:

x  (y  z) ? (x  y)  zабо x  (y  z) ? (x  y)  z.

Законконтрапозиції дозволяє пряму імплікацію замінювати зворотної, у результаті антецедент першої замінюється запереченням консеквента другий, та її консеквент – запереченням антецедента. Простіше кажучи, при контрапозиції відбувається перестановка членів імплікації або їхня контрапозиція, але вони беруться з запереченнями:

(x ? y) ? (¬ y ? ¬ x)

Закон протиріччя: два суперечать одне одному висловлювання, тобто. висловлювання хі його заперечення не-х не можуть бути разом істинними:

(x  ¬ x)

Оскільки цей закон забороняє протиріччя у міркуванні, то його часто називають також законом несуперечності,і останнє правильніше.

Закон наслиненого третього: з двох суперечливих один одному висловлювань лише одне є істинним. Тоді друге буде хибним і жодної третьої можливості не існує

x  ¬ x

Всі ці закони можна безпосередньо перевірити за допомогою таблиць істинності, але їх бажано запам'ятати, щоб щоразу не звертатися до побудови таблиць. Можна було б навести й інші закони, які іноді застосовуються у міркуваннях, але вони відіграють значно меншу роль. У принципі таких законів може бути безліч. Усі вони повинні містити лише змінні та логічні постійні та бути істинними у будь-якій галузі (універсумі) міркування. У цьому передбачається, що це область непуста. У логіці висловлювань до постійних відносять логічні конектори (зв'язки), з яких утворюються складні висловлювання, а змінними є прості висловлювання.

Всі перелічені вище закони є основою для правильних міркувань, бо спираючись на них, ніколи не можна отримати помилкового висновку з справжніх посилок. Тому будь-яке послідовне, несуперечливе та правильне мислення завжди здійснюється відповідно до законів логіки, усвідомлюємо ми це чи ні. У той же час серед перерахованих законів необхідно виділити основні, які зазвичай називаються законами логікиДо них відносяться закони тотожності, протиріччя та виключеного третього, про які йтиметься у гл.6.

Усі закони обчислення висловлювань, як це можна переконатися з допомогою таблиць істинності, є тотожно істинними (загальнозначними формулами).Які б істиннісні значення не надавалися висловлюванням, що входять до них, в кінцевому рахунку формула виявляється завжди істинною. Ось чому ці закони явно чи неявно застосовуються у будь-якому міркуванні, бо саме з їхньою допомогою стає можливим перетворити та спрощувати наявну інформацію та дійти певних висновків. Пояснимо це на прикладі закону контрапозиції. Якщо нам відомо, що "трикутник хрівнобедрений", то звідси випливає висловлювання у,що стверджує, що "кути за його підстави рівні". Але якщо ці кути не рівні, то за законом контрапозиції можна зробити висновок, що "трикутник не є рівнобедреним", тобто. ( х ? у) ? (¬ y ? ¬ x). Таким чином, цей висновок ми отримуємо суто логічно, не вдаючись, наприклад, до доказу методом протилежного.

Звідси безпосередньо видно, що закони логіки висловлювань, по-перше, полегшують наші міркування, по-друге, значно спрощують їх, по-третє, роблять їх точнішими та зручнішими, бо з символами та формулами поводитися легше, ніж з менш визначеними та неточними словесними формулюваннями.

Оскільки закони обчислення висловлювань є так само загальнозначущими за своїм характером, як і основні закони логіки, то в принципі вони нічим не відрізняються від них. Якщо ми продовжуємо відрізняти їхню відмінність від основних законів логіки, це швидше данина традиції, хоча для характеристики різних систем така відмінність продовжує зберігати своє значення. Так, конструктивну логіку ми відрізняємо від класичної за відсутністю у ній закону виключеного третього.

3.5. Логічне слідування

"Якщо не буде дощу (¬Д), то він прийде на зустріч (В)". Пішов дощ, отже, він не прийде на зустріч (¬В). Перекладемо це словесне формулювання логічно вичислення висловлювань і тоді отримаємо формулу:

((¬Д? В)  Д)) ? ¬В (1)

Щоб перевірити правильність укладання, побудуємо йому таблицю істинності (табл. 8).

Хоча висновок словесного міркування здається на перший погляд вірним, але воно логічно не випливає з посилок, у чому можна переконатися, якщо порівняти значення істинності посилок формули (1) зі значенням істинності укладання. Якби висновок логічно випливало з посилок, тоді за одночасної істинності посилок (¬Д ? В) у першому рядку табл. 8 і Д висновок ¬ В останньому стовпці цього ж рядка має бути істинним, а воно хибне. Але фундаментальний принцип логіки постулює, що з справжніх посилок не можна вивести хибного висновку. Це і показує, що висновок, що розглядається, не випливає з посилок. Адже не виключається можливість, що попри дощ людина може прийти на зустріч.

Звідси стає зрозумілим, що встановити логічне дотримання одного висловлювання чи формули з іншого можна за допомогою побудови таблиці істинності всіх простих (елементарних) висловлювань, які називають атомарними(або просто атомами). На противагу цьому складні (складові) висловлювання, побудовані за допомогою логічних зв'язок, розглядають як молекулярні. Якщо буде встановлено, що з одночасної істинності посилок висновок виявиться також істинним, це дає підстави сказати, що це формула чи висловлювання логічно випливає з іншого, тобто. висновок випливає з посилок. В іншому випадку, як ми бачили в попередньому прикладі, висновок логічно не випливає з посилок.

Тепер дамо загальне визначення логічним дотриманням у обчисленні висловлювань. Позначимо через великі літери латинського алфавіту молекулярні висловлювання Аі В,що складаються з атомарних (елементарних) висловлювань х1 х2 , x3 ,..., xn. Тоді кажуть, що "В слід з Аабо є наслідком А",коли в таблицях істинності для Аі Уформула Умає значення "істина" у всіх тих рядках, де Амає значення "істина". Символічно слідування позначається знаком "|=", наприклад А| = Ст.

Якщо з Алогічно слід В,а з Услід А,тобто. А | = В та В | =А, то в цьому випадку висловлювання Аі Убудуть логічно еквівалентними.

Звернемося тепер до іншого випадку і визначимо, наприклад, чи формула х уз формули ( х ? у)  (x  ¬ y ). Для цього знову збудуємо таблицю їх істинності (табл. 9).

Однак у цій таблиці в жодному рядку висловлювання х ? уі х  ¬ уне є одночасно істинними, а тому їхня кон'юнкція буде хибною. Але імплікація з хибного висловлювання вважається справжньою. Можна сказати тому, що з аналізованої формули випливає не тільки диз'юнкція ху, а й будь-яка інша формула. Такий парадоксальний результат пояснити неважко. Справа в тому, що формула ( х ? у)  (х  ¬ у) є логічне протиріччя, у чому можна переконатися, якщо висловити її другу частину через імплікацію, тобто. ( х  ¬ у) ? ¬( x ? y). Звідси безпосередньо видно, що другий член кон'юнкції є запереченням першого члена: ( х ? у)  ¬( х ? ¬ у).

Такі висловлювання, в якому одне з них щось стверджує, а інше одночасно заперечує це, називаються контрадикторними (суперечливими).Згідно з відомим нам законом несуперечності подібні висловлювання неприпустимі в міркуванні, бо з логічно суперечливого твердження випливає будь-яке висловлювання: істинне чи хибне.

Часто суперечливі висловлювання називають також несумісними,тому що з несумісних висловлювань логічно випливає протиріччя.

Несумісність (суперечливість) висловлювань, яка іноді зустрічається в міркуваннях, призводить до того, що в ньому виявляються допустимими як справжні, так і хибні висновки. Саме цією обставиною широко користувалися античні софісти, які прагнули забезпечити собі перемогу в суперечці за будь-яку ціну, в тому числі шляхом порушення законів логіки. Очевидно, що для цього вони маскували свої твердження, бо інакше опоненти та слухачі завжди могли викрити їх у явних протиріччях. Однак ніхто не застрахований від протиріч та помилок, але слід розрізняти помилки навмисні (свідомі) та помилки не навмисні (неусвідомлювані). Якщо перші, які часто називають софізмами,слід викривати, то другі, іменовані паралогізмами,необхідно виправляти. Але в обох випадках логіка служить надійним інструментом для аналізу та розкриття помилок, і особливо визначення правильності логічного проходження висновку з його посилок.

У першому прикладі помилковий висновок був із недостатньою точністю його словесної формулювання, у другому прикладі – протиріччя було замасковано інший формою символічного запису другої частини формули. Ясно, що якби суперечність була записана у вигляді: ( х ? у) і ¬( x ? у), то відразу стало б видно, що тут перед нами протиріччя, з якого, як тепер ми знаємо, випливає будь-який висновок: істинне, хибне і навіть абсурдне. Не можна, однак, вважати, що суперечності розкриваються так легко. Як буде показано в гол. 6, протиріччя залежать від низки умов, виконання яких обов'язково для того, щоб характеризувати їх як протиріччя, зокрема щоб висловлювання, з яких одне заперечує інше, характеризували предмет думки в один і той самий час і в тому самому відношенні. З часом наші знання змінюються, і тому висловлювання, що характеризували явища, також можуть змінитися та припинити суперечити один одному.

Легко помітити, що всі розглянуті вище контрадикторні (суперечливі) висловлювання можуть бути представлені за допомогою загальної формули ( А  ¬ А), де члени кон'юнкції Аі ¬ Ає виразами метамови, тобто. мови, якою ми говоримо про об'єктну (предметну) мову. Метамова служить для подання висловлювань, що виражаються за допомогою змінних х 1, х 2, х 3,..., x n. Надалі формули метамови будуть застосовуватися кожного разу, коли нам доведеться говорити про предметну мову, щоб не захаращувати виклад і не виписувати формули цієї мови.

Отже, будь-які складні висловлювання, які можуть бути представлені у формі кон'юнкції затвердження та його заперечення, тобто. як А  ¬ А, представляють саме протиріччя. Тому при будь-якій комбінації висловлювань, що входять до них, за істиннісним їх значенням ("істина" або "брехня") призводитимуть до хибного висновку. Іншими словами, функція-висловлювання, утворена з елементарних висловлювань, завжди матиме своїм значенням "брехня". Оскільки з хибного твердження можна отримати як істину, так і брехню, основний закон логіки - закон несуперечності - забороняє використовувати суперечливі висловлювання або формули в міркуванні. Ця заборона виявляється у вимогі несуперечності міркування, яку часто називають також вимогою сумісності (зв'язності) міркування.

Якщо формула ( А  ¬ А) є завжди хибним висловлюванням, то її заперечення, що виражає вимогу несуперечності, навпаки, буде завжди істинним висловом, загальнозначущою формулою, або тавтологією,як почали називати такі висловлювання за Л. Вітгенштейном. Слід, проте, не поєднувати мовні тавтології з логічними. Якщо в мові тавтологія означає повторення тієї ж фрази чи речення тексту, то в логіці вона є тотожно істинним висловлюванням.Не слід також плутати тотожно істинні висловлювання із законом тотожності, що виражається формулою А ? А, Хоча остання також висловлює тавтологію.

Звідси стає зрозумілим, що тавтології (тотожно істинні висловлювання) можна використовуватиме уявлення всіх законів логіки чи будь-яких загальнозначимих її формул. Дійсно, закон несуперечності, що забороняє протиріччя в міркуванні, можна висловити формулою ( A  ¬ A), яка є тавтологію, у чому можна переконатися, побудувавши неї відповідну таблицю істинності (табл. 10). Те саме можна сказати про закон виключеного третього – ( A  ¬ A) (табл.11).

Якщо з протиріччя випливає що завгодно, тобто. "Істина" або "брехня", то й тавтологія випливає з будь-якого істинного чи хибного висловлювання. Насправді, якщо у кожному рядку таблиці висновок завжди буде істинним, то за правилом імплікації воно може бути отримане як з істинних, так і з помилкових посилок. Навпаки, ніколи хибне слідство (суперечність) може бути отримано з справжніх посилок.

Проміжне положення між завжди істинними висловлюваннями (тавтологіями), з одного боку, і завжди хибними (суперечливими) висловлюваннями, з іншого, займають фактуальні твердження.Їх висновки може бути як істинними, і помилковими, залежно від тих фактів, куди спираються їх посилки. У той час як істинність тавтологій чи хибність протиріч може бути встановлена ​​суто логічним аналізом цих висловлювань, значення істинності фактуальних висловлювань вимагає звернення до дійсних фактів. Іншими словами, щоб встановити істинність чи хибність фактуальних висловлювань, необхідно досліджувати реальні зв'язки та відносини дійсності, які відображаються у відповідних висловлюваннях, які є посилками фактуальних висновків. На цій підставі фактуальні висловлювання часто називають також емпіричнимина противагу аналітичним висловлюванням логіки та чистої математики. Але це протиставлення має відносний характер, бо і в наукових, і в повсякденних міркуваннях аналітичні висловлювання логіки застосовуються разом із емпіричними твердженнями, оскільки саме з емпіричних законів ми виводимо логічні висновки.
Всю нову інформацію у науці формулюють за допомогою емпіричних (фактуальних) висловлювань, а висновки з неї одержують за допомогою законів (правил) логічного дотримання.

3.6. Доказованість та виведеність

По суті цей метод дуже схожий на метод доказу теорем, який відомий зі шкільної геометрії. Доказ там зводилося до логічного висновку теорем з аксіом, а також раніше доведених теорем, які приймалися як істинні твердження геометрії. Зрештою всяке підтвердження зводиться до логічного висновку теорем з аксіом, оскільки раніше доведені теореми можна логічно вивести з аксіом. Таким чином, відмінність доказу від логічного висновку полягає в тому, що при доказі ми приймаємо посилки як справжні висловлювання, а при логічному висновку – як припущення або гіпотези. Звідси стає зрозумілим різницю між істинністю і правильністю міркування чи мислення, про якому йшлося у гол. 1. Істинність твердження передбачає, по-перше, істинність посилок, у тому числі воно виводиться, і, по-друге, правильність логічного вывода. Висновок може бути зроблений з будь-яких припущень, у тому числі помилкових.

Хоча процес докази у логіці аналогічний доказам у математиці, але з-поміж них є й суттєва різниця; воно у тому, що у математиці ми маємо справу з специфічними математичними об'єктами – числами, фігурами, функціями тощо., а логіці – з висловлюваннями, тобто. з логічними об'єктами. Щоб відрізнити об'єкти різного рівня, для представлення висловлювань у математиці використовується предметна мова, а для аналізу предметної мови – метамова, якою формулює свої твердження дослідник. Простіше кажучи, щоб міркувати про об'єкти предметної мови, необхідна метамова, яка виступає мовою другого рівня. Ця обставина слід завжди мати на увазі надалі.

Щоб побудувати доказ висловлювання чи формули у обчисленні висловлювань, необхідно:

1) вказати ті аксіоми або недоведені формули, з яких виводяться всі формули, що доводяться, або теореми;

2) точно сформулювати правила виведення теорем із аксіом.

У принципі до аксіом обчислення висловлювань можуть бути віднесені всі тавтології (загальнозначущі висловлювання), більшість з яких неважко перевірити за допомогою таблиць істинності. Але зазвичай обмежуються перерахуванням небагатьох аксіом, у тому числі прагнуть вивести за правилами логіки інші загальнозначущі висловлювання (теореми). Але будь-яку теорему можна вважати аксіомою, і з нової системи отримати колишню аксіому як теорему. Зазвичай вибір аксіом відбувається на підставі зручності та доцільності побудови обчислення висловлювань. Ми могли б вибрати як аксіом деякі із законів обчислення висловлювань, наведені в розд. 3.4.

Крім аксіом, для виведення теорем необхідні правила виведення. У обчисленні висловлювань зазвичай використовуються два правила: правило відділення та правило підстановки.

Правило відділення (modus ponens - МР) дозволяє з двох висловлювань виду Аі А ? В,як посилок, вивести висновок Ст.Схематично це правило можна так:

А, А ? У

Горизонтальна риса тут відокремлює висновок від посилок. Як посилки виступають антецедент Аі сама імплікація А ? В,укладанням служить консеквент імплікації. Таким чином, це правило дозволяє нам відокремити висновок від його посилок як самостійне знання. Так, у математиці ми постійно формулюємо теореми без зазначення посилок, з яких вони виведені. Якщо за доказі обмежуються лише правилом відділення, тоді цього необхідно переконатися у істинності посилок і правильності логічного вывода. Оскільки в математиці посилками служать зрештою аксіоми, які приймаються істинними без доказу, доказ сам зводиться до перевірки правильності логічного висновку. В емпіричних науках, крім того, необхідно обгрунтувати істинність посилок, якими можуть бути різноманітні припущення (емпіричні закони чи узагальнення, гіпотези, принципи, постулати і навіть цілі теорії).

Правило підстановки дозволяє замість будь-якої змінної в обчисленні висловлювань підставляти будь-яке інше висловлювання, але для того, щоб отримати справжнє висловлювання як висновок, необхідно, щоб вихідна формула була істинною.

Дуже проста система аксіом для обчислення висловлювань була побудована Б. Расселом та А.М. Уайтхедом, а потім удосконалена Д. Гільбертом. Вона складається з чотирьох аксіом:

1) x  х ? х.

2) х ? х  у.

3) x  y ? y  x.

4) (х ? у) ? ((z  x) ? (z  у)).

Аксіома 1стверджує, що вислів істинно, якщо диз'юнкція цього висловлювання із собою істинна.

Аксіома 2означає, що коли висловлювання є істинним, то до нього можна приєднати будь-який – істинний чи хибний – диз'юнктивний член, оскільки диз'юнкція буде істинною, якщо один із членів буде істинним висловлюванням.

Аксіома 3є закон комутативності для диз'юнкції.

Аксіома 4стверджує, що у разі істинності імплікації до її антецеденту та консеквенту можна приєднати будь-який диз'юнктивний член, бо він не вплине на істинність імплікації. Неважко помітити, що у всіх формулах, що виражають аксіоми, можна замінити імплікацію еквівалентним виразом: ( х ? у) ? (¬ х  у). Зазвичай для формулювання аксіом використовуються дві логічні операції, оскільки висловлювання складних висловлювань їх достатньо.

Маючи ці аксіоми, з допомогою зазначених вище правил виведення можна вивести інші справжні висловлювання логіки висловлювань. При аксіоматичному підході ми звертаємося до змістовним способам встановлення істинності висловлювань, а, припускаючи аксіоми істинними, з допомогою правил відділення і підстановки виводимо інші справжні висновки. Цей підхід можна зробити суто формальним, якщо розглядати аксіоми як вихідні формули, а логічні правила виведення як правила перетворення формул в інші. Саме так здійснюється формальний висновок та доказ у математиці, але це займає багато часу і потребує особливої ​​уваги. Проте з допомогою похідних правил виведення і раніше доведених теорем процес формального докази можна прискорити, хоча математики практично не звертаються до формальним доказам, доки стикаються з протиріччями чи парадоксами чи доки виникає потреба у ретельній перевірці всіх кроків докази.

Цікаво відзначити, що якщо запрограмувати процес доказу теорем, то можна переконатися, що комп'ютер порівняно нескладні формальні докази здійснює швидше і точніше людину, подібно до того, як він виконує дії над числами. Перевага людини над обчислювальною машиною виражається у розумінні здійснюваних нею дій, а й у тому, що він виконує відповідні дії великими блоками, тоді як машина має здійснити кожен крок окремо. Разом з тим, завдяки величезній швидкості швидкодії машина має значну перевагу перед людиною саме при здійсненні рутинних операцій та процесів, до яких належать дії над числами та нескладні логічні та математичні докази.

Процеси логічного висновку та докази мають багато спільного з міркуваннями у природній мові, де також виводять одні висловлювання з інших, але, щоправда, при цьому явно не вказують логічні правила висновку, якими користуються, припускаючи їх відомими. Саме ця обставина змусила логіків будувати обчислення, що нагадують висновки у природній мові. Нерідко тому їх називають натуральними висновками.З цих обчислень найбільш відомим і визнаним вважається система натурального висновку, побудована Г. Генценом, що з'явилася в 1934 Хоча докази, засновані на висновку, застосовував ще Евклід у своїх "Елементах" (геометрії), але в логіці вони стали аналізуватися значно пізніше. Складність тут полягає в тому, що міркування, які здійснюються за допомогою природної мови, важко перекладаються штучною мовою логіки.

3.7. Логічний аналіз міркувань природної мови

Набагато більше труднощів, як ми бачили, виникає з використанням операції імплікації для висловлення умовних думок, суперечки з приводу якого точаться досі. Навіть така порівняно проста операція, як кон'юнкція, іноді не передає всіх нюансів використання спілки "і" у природній мові. Справді, хоча в силу закону комутативності, кон'юнкції ( А  У) та ( У  А) є еквівалентними, проте в природній мові вони не завжди сприймаються такими. Наприклад, пропозиція "Маша вийшла заміж і народила дитину" та пропозицію "Маша народила дитину і вийшла заміж" розуміються як нерівнозначні з погляду послідовності подій у часі. Але це відмінність може бути виражено адекватно мовою обчислення висловлювань. Багато обмежень цього обчислення можна зняти з допомогою побудови сильніших засобів логічного аналізу, зокрема, наприклад, у логіці предикатів. Однак формалізація ніколи не може вичерпати всього багатства і можливостей природної мови, що постійно вдосконалюється і розвивається.

Визначеність, точність і однозначність висновку висновків грає істотну роль процесі аргументації, що є найважливішим засобом раціонально-логічного переконання. Однак навіть за письмового представлення аргументації не завжди досягається адекватна передача думки в слові, суджень – у реченнях. Ідеальним був би такий випадок, коли кожному судженню відповідала б одна пропозиція і, навпаки, одна пропозиція висловлювала б одну думку. Але такого ніколи не буває насправді. Тим не менш, такий ідеал служить для того, щоб до нього наблизитись, наскільки можливо в цих конкретних умовах. Тому за логічного аналізу аргументації вже на першій стадії прагнуть перекласти пропозиції природної мови на мову висловлювань. На цій стадії також усуваються всі пропозиції та інші мовні висловлювання, які мають безпосереднього відношення до аргументації, а служать переважно експресивними засобами посилення промови. На цій же стадії стає можливим встановити, по-перше, які пропозиції є посилками і висновком міркування, а по-друге, як вони пов'язані між собою. Оскільки головна мета логічного аналізу аргументації - встановити правильність і обгрунтованість міркування, стає необхідним виявити його точну логічну структуру, що може бути досягнуто в повному обсязі лише за допомогою формалізації міркування.

У процесі логічного аналізу доводиться також відновлювати відсутні посилки міркування, які часто-густо в природному мові опускаються з їхньої очевидності і загальноприйнятості. Такі міркування із скороченими посилками чи висновками ще Аристотель у своїй "Риториці" назвав ентимемами.

У звичайній промові посилання на очевидні посилки та доводи виглядали б вкрай штучними і тому непотрібними, бо вони сповільнюють процес спілкування та обміну інформацією. Але те, що сприймається як непотрібний педантизм у звичайній мові, не є таким у логічному аналізі міркувань. Тому поряд з усуненням неіснуючих для логічного висновку пропозицій, що не фігурують ні в посилках, ні в укладанні або не пов'язаних з ними, друге завдання аналізу полягає у відновленні відсутніх посилок, які здаються очевидними, але насправді можуть мати важливе значення для з'ясування логічного зв'язку між посилками та ув'язненням. Іноді саме посилання на очевидність є джерелом логічної помилки навіть у математичних міркуваннях, про що свідчать, як уже зазначалося, численні спроби довести аксіому про паралельні в геометрії Евкліда.
Критичний аналіз допомагає, в такий спосіб, відновлювати як відсутні посилки, а й досліджувати наявні посилки з погляду їхньої логічної коректності, усунення логічного кола у доказі, виявлення логічних протиріч тощо.
У процесі аргументації вирішального значення набуває саме критичного аналізу аргументів, або аргументів, що висуваються на захист певної тези, твердження, думки чи точки зору. Аргументація буде вважатися раціональною та переконливою, якщо її висновки логічно випливають з тих аргументів, які виступають її посилками. Мета буде досягнута, якщо аргументуючий переконає слухачів, читачів чи глядачів погодитися з доводами, які він висуває на захист та обґрунтування своєї тези, а також з правильністю виведення висновку з них. У природній мові – особливо у розмовній – немає такої чіткої і точної структури міркування, як і логіці. Крім того, в довгому ланцюзі висновків можуть зникнути з поля зору ті вихідні доводи, або аргументи, які є основою всього міркування або докази. Навіть у довгому письмовому міркуванні простежити весь процес виведення крок за кроком досить важко. Саме тому такі міркування та докази доцільно розбивати на окремі блоки, що містять кілька кроків виведення. Тоді стає можливим чіткіше і чіткіше уявити і зрозуміти весь процес міркування в цілому. Таке оперування блоками, що складаються з кількох кроків виведення, є характерною рисою звичайного логічного мислення, що відрізняє його від роботи будь-якої обчислювальної машини, що виконує всі дії з елементами виведення.

3.8. Про модальність суджень

Різні методи оцінки суджень залежно від поставлених завдань і прийнятої погляду виражаються у модальних категоріях (від латів. modus – міра, метод, спосіб). Вперше їх вивченням став займатися ще Аристотель, який запровадив дві найважливіші модальні категорії: "необхідно" і "можливо", а також похідні від них поняття "не необхідно" та "неможливо". Середньовічні логіки запропонували низку нових модальних термінів та встановили зв'язки між ними. У новий час утвердилася традиція, закладена І. Кантом, відповідно до якої почали розділяти:

1) проблематичні судження,що виражають думку, яка може бути істинною лише за певних умов;

2) асерторичні,що характеризують наявність чи відсутність у предмета деякої властивості. Часто їх називають також судженнями факту;

3) аподиктичні,що стверджують істинність судження незалежно від конкретних фактів чи умов.

Усі закони науки належать до таких міркувань. Подібна класифікація тривалий час трималася у традиційній логіці і досі іноді зустрічається у літературі.

Систематичне дослідження модальних висловлювань почалося в 50-ті роки і в даний час перетворилося на гілка сучасної некласичної логіки, що швидко зростає. Якщо раніше модальні поняття формулювалися природною мовою і внаслідок цього не завжди сприймалися однозначно, то в сучасній логіці модальній точність і однозначність їх розуміння забезпечується використанням ідей і методів математичної логіки. Але це не означає, що модальні висловлювання зводяться до висловлювань функціонально-істиннісного характеру. Ще Д. Юм зауважив, що судження факту не можна висловити за допомогою суджень повинності і навпаки. Так, судження виду Sє Р,тобто. що відображає належність властивості предмета, не можна уявити як затвердження повинності, обов'язковості чи допустимості. З іншого боку, модальні висловлювання допускають застосування ефективних та точних методів символічної чи математичної логіки до ситуацій, що характеризуються цими поняттями.

У рамках сучасної модальної логіки розглядаються такі види модальних понять:

логічні модальності, які виражаються термінами: "логічно необхідно", "логічно неможливо" та "логічно випадково". До логічно необхідних відносяться логічно справжні судження, які є законами логіки або логічні наслідки з них. Судження, які суперечать законам логіки, вважаються логічно хибними. Вони також належать до класу логічно необхіднихсуджень, оскільки характерною особливістю таких суджень є незалежність їхньої істинності чи хибності від фактичного стану справ. Наприклад, судження ( х  ¬ x) буде завжди істинним, бо воно виражає закон виключеного третього класичної логіки. Аналогічно цьому, судження ( х  ¬ х) буде завжди хибним, оскільки є законом протиріччя, у зв'язку з чим можна сказати, що такі судження вважаються істинними чи хибними через логічні підстави. На противагу цьому фактично істиннимиє судження, у яких зв'язок між суб'єктом та предикатом відповідає реальним зв'язкам між предметом та його властивістю. Якщо такої відповідності не існує, то судження буде практично хибним.

Різниця між логічною та фактичною істинністю відіграє важливу роль у процесі аргументації. Доводи чи аргументи є фактично істинні чи хибні судження, а логічні правила виведення грунтуються на законах логіки, і тому ставляться до логічно істинних міркувань;

епістемічні, (теоретико-пізнавальні) модальності, відносяться до характеристики знання і виражаються в термінах: "доведено", "спростувано", "нерозв'язно", "допустимо", "ймовірно", "сумнівно", "переконливо" і т.п. Ми можемо оцінювати, наприклад, у ході суперечки чи дискусії доводи опонента як переконливі чи сумнівні або навіть визначити ступінь їхньої ймовірності. Подібні модальні поняття дають додаткову інформацію про характер знання, що міститься в судженні, крім його істини чи брехні;

деонтичні (нормативні) модальності вказують на тип запропонованих у судженні дій і виражаються у термінах: "дозволено", "не дозволено", "обов'язково", "байдуже" та ін. Таким чином, на відміну від суджень, в яких описується будь-який стан справ, званих дескриптивними , у деонтичних модальностях наказується певний образ дій чи поведінки. Тому такі судження називають також прескриптивними. Характер приписів може бути дуже різним, починаючи від поради та рекомендації та закінчуючи наказом. Найбільш широка сфера застосування деонтичних модальностей – мораль та право. На відміну від норм моралі, правові норми регулюють загальнообов'язкові правила поведінки у суспільстві, які формулюються у відповідних кодексах та постановах. Юридичними нормами регулюються майнові, трудові, сімейні, адміністративні та інші відносини у суспільстві. Невиконання вимог правових норм тягне за собою юридичні санкції з боку правоохоронних органів держави. На відміну від цього порушення моральних норм супроводжується лише засудженням із боку суспільства. Цим пояснюється точна кодифікація правових норм, у яких завжди передбачається адресат, який поширюється норма, характер дії, форма розпорядження (заборона, обов'язок чи дозвіл) і юридична санкція за невиконання приписи. Відповідно до цього правозаборонні норми в юридичних документах формулюються за допомогою деонтичних модальностей "забороняється", "не допускається", "не можна" тощо. У правозобов'язуючих документах вживаються такі слова, як "зобов'язаний", "повинен" "необхідно" тощо;

аксіологічні (ціннісні) модальності характеризують судження з погляду тієї чи іншої системи цінностей. Такі оцінки найчастіше виражаються за допомогою слів "добре", "погано" або "байдуже". У порівняльному відношенні використовуються слова "краще", "гірше" або "рівноцінно", а іноді для порівняння вводяться ступені переваги. Очевидно, що одні аксіологічні терміни можуть визначатися через інші, наприклад, "байдуже" можна розглядати як те, що не є ні добрим, ні поганим;

темпоральні (тимчасові) модальності, які характеризують фактор часу у міркуваннях. Вони використовуються для встановлення відносин у часових лавах: минуле, сучасне і майбутнє, а також раніше, одночасно і пізніше.

Усі перелічені модальні поняття дають можливість точніше і повніше висловити різні контекстуальні характеристики суджень, що залежать від різного підходу до них, їхньої ролі у пізнанні та практичному дії. За допомогою використання символів та формальних методів сучасної некласичної логіки розпливчасті та невизначені модальні терміни природної мови набувають необхідної ясності, однозначності та точності.

3.9. Безпосередні висновки традиційної логіки

Як перший крок розглянемо відносини між судженнями, які можуть бути представлені як вершини логічного квадрата (Рис. 8). Позначимо буквою Азагальностверджувальні судження (початкова літера грец. слова affirmo – стверджувати), загальнонегативні судження позначимо буквою Е(перша голосна літера у слові (nego – заперечувати), літерою Пропозначимо приватнонегативні судження (друга голосна в слові (nego) і буквою I- приватноствердні судження (друга голосна у слові affirmo). Користуючись таким квадратом, можна встановити різні логічні відносини між переліченими судженнями та виводити приватні судження із загальних. Відповідно до цього між загальними та приватними судженнями встановлюється відношення підпорядкування, яке зображується вертикальними сторонами квадрата. Загальноствердне і загальнонегативне судження пов'язані відношенням контрарності (противності), яке зображується верхньою горизонтальною стороною квадрата. Кожна з цих загальних суджень може бути отримана шляхом логічного заперечення іншого. Приватнонегативне і частноствердне судження пов'язані ставленням субконтрарності, яке представлено нижньою горизонтальною стороною квадрата. Діагоналі логічного квадрата пов'язують загальностверджувальне судження з частноотрицательным і общеотрицательное з частноутвердительним судженням.

Звернемося тепер до розгляду безпосередніх дедуктивних висновків традиційної логіки.

Перетворення є безпосереднім висновком, у якому висновок виходить шляхом зміни якості посилки. Якщо посилка – ствердне судження, то результаті перетворення воно стає негативним судженням. Негативне судження, навпаки, перетворюється на ствердне. Наприклад, судження "Всі метали – провідники електрики" перетворюється на негативне "Жоден метал не є неелектропровідним". У прикладі загальноствердне судження стає загальнонегативним, що можна представити схемою:

всі Ає Ст. _________

Жодне Анемає- У.

Подібним чином приватноствердне судження перетворюється на приватнонегативне за схемою:
Деякі Уїсти з.

Деякі Унемає - С.

Аналогічно відбувається перетворення загальнонегативних суджень на загальностверджувальні та приватнонегативні – на приватнонегативні, як видно з наступних схем:

Жодне Ане їсти Ст. ____

всі Ає не- У.

Деякі Уне їсти З.

Деякі Ує не- З.

Як неважко помітити, висновки у всіх цих випадках ґрунтуються на законі подвійного заперечення та взаємозв'язку між кванторами "все" та "деякі", про які йтиметься в наступному розділі. Тут же зауважимо, що подвійне заперечення залишає якість судження незмінною. У мовному вираженні судження одне з заперечень стає запереченням предикату, тому перевірки правильності перетворення ствердного судження на негативне досить уявити в символічній формі.

Звернення є такий вид безпосереднього висновку, у якому висновок виходить шляхом перестановки предикату посилки місце суб'єкта, а суб'єкта – місце предиката. При цьому у випадку відбувається уточнення кількості суджень. Так, судження "Всі кролики - ссавці" звертається до судження "Деякі ссавці - кролі", оскільки клас ссавців набагато більше підкласу кроликів. Цей висновок ми отримуємо на основі знання змісту висловлювань. Але можна абстрагуватися від цього змісту, помітивши, що предикат у таких висновках є розподіленим, і тому становить лише частину обсягу суб'єкта:

всі S єР. _______

Деякі Рє S.

Інший вид звернення, званий іноді "чистим", відбувається тоді, коли обсяги суб'єкта та предикату збігаються. З такими випадками ми зустрічаємося щодо понять. Так, у судженні "квадрат є рівносторонній прямокутник" обсяги суб'єкта і предикату однакові, оскільки обсяги визначального і визначального понять повинні бути пропорційними (див. гл.2).

Протиставлення предикату – такий вид безпосереднього висновку, у якому суб'єктом висновку служить поняття, що суперечить предикату. Наприклад, думці "Всі паралельні на площині не перетинаються" протиставляється судження "Усі непаралельні лінії перетинаються". Такий вид висновку, як ми вже знаємо, можна подати у вигляді контрапозиції умовних висловлювань:

(S? P)? (Р? S).

Як видно зі сказаного вище, деякі види безпосередніх висновків традиційної логіки, такі, як контрапозиція, перетворення, легко перекладаються символічною мовою обчислення висловлювань. Але вже операція звернення, коли доводиться аналізувати структуру зв'язку між суб'єктом і предикатом і вводити квантори спільності та існування, не допускає перекладу простою мовою обчислення висловлювань, у якому висловлювання розглядаються як єдине ціле і аналізуються лише з погляду їхньої істинності та хибності. У зв'язку з цим виникає необхідність дослідження логічної структури суджень як атрибутивних, і реляційних, характеризуючих відносини між предметами. Водночас для кількісної характеристики суджень мають бути введені квантори спільності та існування.

Проте уявлення суджень як висловлювань, позбавлених внутрішньої структури і оцінюваних загалом як істинні і хибні, грає істотну роль побудові самої логіки. По-перше, деякі найпростіші види міркувань чи висновків можна звести до обчислення, що спирається лише оцінку істиннісного значення висловлювань. По-друге, такий підхід є дуже корисним з методичної точки зору, бо спираючись на нього, можна за аналогією будувати складніший обчислення предикатів, в якому враховується внутрішня логічна структура суджень. По-третє, обчислення висловлювань за такого підходу можна розглядати, з одного боку, як вихідну базу для побудови обчислення предикатів, з другого – як окремий випадок обчислення предикатів. Нарешті, по-четверте, нове обчислення предикатів охоплює не тільки класичну логіку з суб'єктно-предикатною структурою суджень, але логіку відносин, що пізніше виникла.
Перевірте себе

1. Які з наведених нижче пропозицій висловлюють судження?

1) Хто сьогодні є черговим.

2) Іванов – черговий.

3) Спершу подумай, а потім відповідай.

4) Чи можна правильно відповісти, не підготувавшись до заняття?

5) Людину впізнають не за промовами, а у справах.

2. Визначте якість та кількість наступних суджень.

1) Один у полі не воїн.

2) Кит не риба.

3) Ромб – рівносторонній паралелограм.

4) Три дівчини під вікном пряли пізно ввечері.

5) Більшість студентів своєчасно складають заліки.

6) Кілька днів він був хворий.

3. Які з наступних виразів будуть функціями-висловлюваннями:

1) х –адвокат.

2) х + 5 = 12.

3) х >3.

5) х –брат Миші; Георгій брат Михайла.

6) Крапка Улежить між точками Аі З.

7) Крапка Хзнаходиться ліворуч від точки А.

8) Хтось увійшов до дому; хпричина у.

9) Витік газу – причина вибуху.

4. Перекладіть наступні речення символічною мовою, позначивши кожне просте судження буквою, а складне судження – формулою. Визначте, які з одержаних формул виражають кон'юнкцію, а які диз'юнкцію.

1) "Чи довго мені гуляти на світі то в колясці, то верхи, то в кибитці, то в кареті, то в возі, то пішки" (А. С. Пушкін).

2) "Одного разу лебідь, рак і щука вести з поклажею воз взялися" (А. І. Крилов)

3) Знання та ремесло людини фарбують.

4) "Ось воно що, півник червоний гребінець, - сказав осел, - ех, іди ти краще з нами, ми йдемо в Бремен, - гірше смерті все одно нічого не знайдеш; голос у тебе хороший, і якщо ми візьмемося разом з тобою за музику, та справа піде на лад" (Брати Грімм).

5. Чому кон'юнкцію спростувати легше, ніж диз'юнкцію? Обґрунтуйте свою відповідь та наведіть приклади.

6. Перекладіть умовні речення символічною мовою.

1) "Ще б ти більше загострився, коли б у нього трошки повчився" (І. А. Крилов).

2) "Заєць, якщо його бити, сірники може запалювати" (А. Чехов).

3) Назвався грузде - лізь у кузов.

4) Діаметр ділить коло навпіл.

5) Якщо трикутник рівнобедрений, то кути за його підстави рівні.

7. За допомогою таблиць істинності визначте істинне значення наступних формул:

1) (А? В)? В;

3) (А? В) v В; А v (¬5? В).

8. Чи є еквівалентними такі формули:

1) (х? у) та (¬у? ¬х); ¬(х v у) та (¬х? ¬у);

2) (х? у) і (у? х; ¬х і (¬(¬х)).

9. За допомогою таблиць істинності перевірте, чи є тавтологіями наступні формули:

1) (А v В)? А;

2) (А? В)? (¬A v B);

3) (А? В)? (В? А); А v А; А в Ст.

10. Чи є кон'юнкція (А? В)? (А?¬В) протиріччям?

11. Чим відрізняються фактуальні висловлювання від тавтологій та протиріч? Визначте, які з формул є тавтологіями, протиріччями та фактуальними (емпіричними) судженнями?

1) А? А; (А v);

3) (А? В)? (В?¬А);

4) (АВ) (В? А);

12. Як визначити, чи випливає формула обчислення висловлювань Уіз формули А1Наведіть приклади.

13. Перевірте правильність виведення у таких формулах:

А? У А? У А? У

B A ¬A

14. Якщо можливо, зробіть звернення наступних суджень

1) Усі кішки – ссавці.

2) Усі прямокутники – чотирикутники.

3) Усі квадрати – рівносторонні прямокутники.

4) Деякі студенти не вивчають логіки.

5) Деякі студенти – спортсмени.

15. Яка різниця існує між зверненням таких думок?

1) Усі трикутники – геометричні фігури.

2) Усі рівносторонні трикутники рівнокутні.

16. Зза допомогою логічного квадрата встановіть відношення між наступними простими судженнями:

1) Усі студенти вивчають логіку.

2) Деякі студенти не вивчають логіки.

3) Усі люди егоїстичні.

4) Жодна людина не егоїст.

5) Не всі люди пишуть грамотно.

6) Не всі люди знають логіку.

7) Деякі їх знають логіку.

17. Чим відрізняється логічна структура судження від граматичної структури речення? Наведіть приклад поширеної оповідальної пропозиції та виділіть у ній суб'єкт, предикат та зв'язку.

18. Визначте вид модальності у наступних судженнях:

1) Можливо, що існує розумне життя у Всесвіті.

2) Імовірність снігопаду влітку дуже мала.

3) Сума кутів у трикутнику дорівнює 180 °.

4) Сьогодні сонячний день.

5) Ви маєте піти на лекцію.

6) Ми повинні складати заліки.

7) Достовірно відомо, що його не було.

8) Ніколи не порушуйте правила руху.

19. Чим відрізняється граматичний умовний зв'язок імплікації у логіці?

20 . Визначте, який змістовий зв'язок висловлюють такі умовні речення:

1) Якщо йде струм провідником, він нагріється.

2) Якщо діаметр перпендикулярний до хорди, він ділить її навпіл.

3) Якщо число ділиться на 2, воно не просте.

4) Якщо ви не знаєте логіки, то вам важко буде виявити помилку в міркуванні.

21. Чим відрізняються з логічного погляду зв'язок причини і наслідки (дії); підстави та наслідки? Наведіть приклади.

22. Що потрібно зробити, щоб перекласти пропозиції природної мови на мову логіки? Чи є такий переклад адекватним?

23. Як можна побудувати аксіоматичну теорію для обчислення висловлювання?

24. Які переваги процес логічного висновку та докази має перед табличним способом визначення істиннісного значення складних висловлювань?

Що стверджує або заперечує щось про існування предметів, про зв'язки між ними та їх властивостями, а також про відносини між предметами.

Приклади суджень: Волга впадає в Каспійське море, А.С. Пушкін написав поему «Мідний вершник», «Уссурійський тигр занесений до Червоної книги», тощо.

Структура судження

Судження включає такі елементи: суб'єкт, предикат, зв'язка і квантор.

1. Суб'єкт (лат. subjektum - «що лежить в основі») - те, що йдеться в даному судженні, його предмет («S»).
2. Предикат (лат. Praedicatum – «сказаний») – відображення ознаки предмета, те, що йдеться про суб'єкт судження («Р»).
3. Зв'язка - відношення між суб'єктом («S») і предикатом («Р»). Визначає наявність/відсутність суб'єкта будь-якої властивості, вираженого в предикаті. Може як матися на увазі, так і позначається знаком «тире» або словами «є» («не є»), «є», «є», «суть» та ін.
4. Квантор (кванторне слово) визначає обсяг поняття, до якого належить суб'єкт судження. Стоїть перед суб'єктом, але може також бути відсутнім у судженні. Позначається такими словами, як "усі", "багато", "деякі", "жоден", "ніхто" та ін.

Справжні та помилкові судження

Судження є істинним у тому випадку, коли наявність ознак, властивостей та відносин предметів, що затверджуються/заперечуються у судженні, відповідає дійсності. Наприклад: «Всі ластівки - птахи», «9 більше 2-х» тощо.

Якщо твердження, що міститься в судженні, не відповідає дійсності, ми маємо справу з помилковим судженням: «Сонце обертається навколо Землі», «Кілограм заліза важчий, ніж кілограм вати» та ін. Правильні судження становлять основу правильних висновків.

Однак крім двозначної логіки, в якій судження може бути істинним, або хибним, існує також багатомірна логіка. Згідно з її умовами, судження може бути ще й невизначеним. Особливо це стосується майбутніх поодиноких суджень: «Завтра станеться/не станеться морська битва» (Арістотель, «Про тлумачення»). Якщо припустити, що це справжня думка, то морська битва завтра вже не може не статися. Отже необхідно, щоб воно відбулося. Або навпаки: стверджуючи, що це судження зараз є хибним, ми тим самим робимо необхідною неможливість завтрашнього

Судження на кшталт висловлювання

Як відомо, за типом висловлювання виділяють три типи спонукальний і запитальний. Наприклад, пропозиція «Я пам'ятаю чудову мить» відноситься до оповідального типу. Доцільно запропонувати, що таке судження також буде оповідальним. Воно містить певну інформацію, повідомляє про певну подію.

У свою чергу, запитальна пропозиція містить у собі питання, що має на увазі відповідь: "Що день прийдешній мені готує?" При цьому вона нічого не констатує та не заперечує. Відповідно, твердження, що таке судження є запитальним, помилковим. Запитання в принципі не містить у собі судження, так як питання не може диференціюватися за принципом істинності / хибності.

Понудний тип пропозицій утворюється у разі, коли має місце певне спонукання до дії, прохання чи заборона: «Повстань, пророк, і бач, і послухай». Щодо суджень, то на думку одних дослідників, вони не містяться в пропозиціях такого типу. Інші вважають, що йдеться про різновид модальних суджень.

Якість судження

З точки зору якості, судження можуть бути як ствердними (S є P), так і негативними (S не є P). У разі ствердного судження, за допомогою предикату суб'єкту надається певна властивість(-ва). Наприклад: «Леонардо да Вінчі - італійський живописець, архітектор, скульптор, учений, дослідник природи, а також винахідник і письменник, найбільший представник мистецтва Відродження».

У негативному судженні, навпаки, властивість від суб'єкта забирається: «Теорія 25-го кадру Джеймса Вайкері немає експериментального докази».

Кількісна характеристика

Судження в логіці можуть мати загальний характер (що стосуються всіх предметів даного класу), приватні (до деяких з них) та поодинокі (коли йдеться про предмет, який існує в єдиному екземплярі). Наприклад, можна стверджувати, що таке судження, як «Вночі всі кішки сірки» буде ставитись до загального вигляду, оскільки воно зачіпає всіх представників котячих (суб'єкт судження). Твердження ж «Деякі змії є отруйними» - приклад приватного судження. У свою чергу, судження «Дивний Дніпро за тихої погоди» є поодиноким, оскільки йдеться про одну конкретну річку, яка існує в єдиному вигляді.

Прості та складні судження

Залежно від структури, судження може належати до типу простих чи складних. Структура простого судження включає два пов'язані між собою поняття (S-P): «Книга - джерело знань». Також існують судження з одним поняттям – коли друге тільки мається на увазі: «Смеркало» (P).

Складний вигляд утворюється у вигляді з'єднання кількох простих суджень.

Класифікація простих суджень

Прості судження у логіці можуть бути наступних видів: атрибутивні, судження з стосунками, екзистенційні, модальні.

Атрибутивні (судження-властивості) спрямовані на затвердження/заперечення наявності у предмета певних властивостей (атрибутів), Дані судження мають категоричну форму і не піддаються сумніву: «Нервова система ссавців складається з головного та нервових шляхів, що відходять».

У судженнях із відносинами розглядаються певні відносини між предметами. Вони можуть мати просторово-часовий контекст, причинно-наслідковий та ін. Наприклад: «Старий друг кращий за нові два», «Водень легший за вуглекислий газ у 22 рази».

Екзистенційне судження - це твердження існування/неіснування предмета (як матеріального, так і ідеального): «Немає пророка у своїй вітчизні», «Місяць є супутником Землі».

Модальне судження - це форма твердження, у складі якого є певний модальний оператор (необхідно, добре/погано; доведено, відомо/невідомо, заборонено, вірю, та ін.). Наприклад:

• «У Росії необхідно проведення освітньої реформи» (алетична модальність – можливість, необхідність чогось).
• «Кожен має право на особисту недоторканність» (деонтична модальність – моральні норми суспільної поведінки).
• «Недбале ставлення до державного майна призводить до його втрати» (аксіологічна модальність – ставлення до матеріальних та духовних цінностей).
• «Ми віримо у вашу невинність» (епістемічна модальність – ступінь достовірності знань).

Складні судження та види логічних зв'язок

Як зазначалося, складні судження складаються з кількох простих. Як логічні зв'язки між ними виступають такі прийоми, як:

Судження (висловлювання) – це форма мислення, у якій щось затверджується чи заперечується. Наприклад: «Усі сосни є деревами», «Деякі люди – це спортсмени», «Жоден кіт – не риба», «Деякі тварини не є хижаками».

Розглянемо кілька важливих властивостей судження, які водночас відрізняють його від поняття:

1. Будь-яка думка складається з понять, пов'язаних між собою.

Наприклад, якщо пов'язати поняття « карась» та « риба», то можуть вийти судження: « Усі карасі є рибами», «Деякі риби є карасями».

2. Будь-яке судження виражається у формі речення (згадаймо, поняття виражається словом чи словосполученням). Однак не всяка пропозиція може висловлювати судження. Як відомо, пропозиції бувають оповідальними, запитальними та окличними. У запитальних і оклику реченнях нічого не затверджується і не заперечується, тому вони не можуть висловлювати собою судження. Оповідальна пропозиція, навпаки, завжди щось стверджує або заперечує, внаслідок чого судження виражається у формі оповідальної пропозиції. Проте є такі запитальні та окликувальні пропозиції, які лише за формою є питаннями та вигуками, а за змістом щось стверджують чи заперечують. Вони називаються риторичними. Наприклад, відомий вислів: « І яка ж російська не любить швидкої їзди?» - являє собою риторичне запитання (риторичне питання), тому що в ньому у формі питання стверджується, що кожен російський любить швидку їзду.

У подібному питанні укладено судження. Те саме можна сказати про риторичні вигуки. Наприклад, у висловлюванні: « Спробуй знайти чорну кішку у темній кімнаті, якщо її там немає!» – у формі оклику речення стверджується думка про неможливість запропонованої дії, внаслідок чого даний вигук висловлює собою судження. Зрозуміло, що не риторичне, а справжнє питання, наприклад: « Як тебе звати?»- не висловлює судження, так само, як не висловлює його справжнє, а не риторичне вигук, наприклад: « Прощай, вільна стихія!».

3. Будь-яке судження є істинним чи хибним. Якщо судження відповідає дійсності, воно є істинним, а якщо не відповідає – хибним. Наприклад, судження: « Усі троянди – це квіти», - Істинне, а судження: « Усі мухи – це птахи», - Помилковим. Слід зазначити, що поняття, на відміну суджень, що неспроможні бути істинними чи хибними. Неможливо, наприклад, стверджувати, що поняття « школа» - Істинне, а поняття « інститут» - хибне, поняття « зірка» - Істинне, а поняття « планета» - хибне і т. п. Але хіба поняття « Змій Горинич», « Кощій Безсмертний», « вічний двигун» не хибні? Ні, ці поняття є нульовими (порожніми), але з істинними і хибними. Згадаймо, поняття – це форма мислення, яка означає будь-який об'єкт, – і тому не може бути істинним чи хибним. Істинність чи хибність – це завжди характеристика якогось висловлювання, твердження чи заперечення, тому вона застосовна лише до міркувань, але з поняттям. Оскільки будь-яка думка приймає одне з двох значень – істини чи брехні – то арістотелівська логіка також часто називається двозначною логікою.

4. Судження бувають простими та складними. Складні міркування складаються з простих, з'єднаних будь-яким союзом.

Як бачимо, судження – це складніша форма мислення проти поняттям. Тож не дивно, що судження має певну структуру, в якій можна виділити чотири частини:

1. Суб'єкт S) – це те, про що йдеться у судженні. Наприклад, у судженні: « », – мова йде про підручники, тому суб'єктом цього судження виступає поняття « підручники».

2. Предикат(позначається латинською літерою Р) – це те, що йдеться про суб'єкт. Наприклад, у тому самому судженні: « Усі підручники є книгами», - Про суб'єкта (про підручники) говориться, що вони - книги, тому предикатом даного судження виступає поняття « книги».

3. Зв'язування– це те, що поєднує суб'єкт та предикат. У ролі зв'язки може бути слова «є», «є», «це» тощо.

4. Квантор- Це покажчик на обсяг суб'єкта. У ролі квантора може бути слова «все», «деякі», «жоден» тощо.

Розглянемо судження: « Деякі люди є спортсменами». У ньому суб'єктом виступає поняття « люди», предикатом - поняття « спортсмени», роль зв'язки грає слово « є», а слово « деякі»є квантор. Якщо у якомусь судженні відсутня зв'язка чи квантор, всі вони мають на увазі. Наприклад, у судженні: « Тигри – це хижаки», - Квантор відсутня, але мається на увазі - це слово «все». За допомогою умовних позначень суб'єкта та предикату можна відкинути зміст судження та залишити лише його логічну форму.

Наприклад, якщо у судження: « Усі прямокутники – це геометричні фігури», - Відкинути зміст і залишити форму, то вийде: «Всі Sє Р». Логічна форма судження: « Деякі тварини не є ссавцями», – «Деякі Sне їсти Р».

Суб'єкт і предикат будь-якого судження завжди є будь-якими поняттями, які, як ми вже знаємо, можуть перебувати в різних відносинах між собою. Між суб'єктом і предикатом судження може бути такі відносини.

1. Рівнозначність. У судженні: « Усі квадрати – це рівносторонні прямокутники», - суб'єкт квадратиі предикат « рівносторонні прямокутники» знаходяться щодо рівнозначності, тому що є рівнозначними поняттями (квадрат – це обов'язково рівносторонній прямокутник, S = Pа рівносторонній прямокутник – це обов'язково квадрат) (рис. 18).

2. Перетин. У судженні:

« Деякі письменники – це американці», - суб'єкт письменникиі предикат « американці»знаходяться щодо перетину, тому що є перетинаються поняттями (письменник може бути американцем і може ним не бути, і американець може бути письменником, але також може ним не бути) (рис. 19).

3. Підпорядкування. У судженні:

« Усі тигри – це хижаки», - суб'єкт тигриі предикат « хижаки»знаходяться щодо підпорядкування, тому що є видове і родове поняття (тигр - це обов'язково хижак, але хижак не обов'язково тигр). Також у судженні: « Деякі хижаки є тиграми», - суб'єкт хижакиі предикат « тигри»знаходяться щодо підпорядкування, будучи родовим і видовим поняттями. Отже, у разі підпорядкування між суб'єктом і предикатом судження можливі два варіанти відносин: обсяг суб'єкта повністю включається до обсягу предикату (рис. 20, a), або навпаки (рис. 20, б).

4. Несумісність. У судженні: « », - суб'єкт планетиі предикат « зірки»знаходяться щодо несумісності, тому що є несумісними (супідрядними) поняттями (жоден планета не може бути зіркою, і жодна зірка не може бути планетою) (рис. 21).

Щоб встановити, у якому відношенні перебувають суб'єкт і предикат тієї чи іншої судження, треба спочатку встановити, яке поняття цього судження є суб'єктом, яке – предикатом. Наприклад, треба визначити відношення між суб'єктом та предикатом у судженні: « Деякі військовослужбовці є росіянами». Спочатку знаходимо суб'єкт судження, – це поняття « військовослужбовці»; потім встановлюємо його предикат, - це поняття росіяни». Поняття « військовослужбовці» та « росіяни»знаходяться щодо перетину (військовослужбовець може бути росіянином і може ним не бути, і росіянин може як бути, так і не бути військовослужбовцем). Отже, у зазначеному судженні суб'єкт та предикат перетинаються. Так само в судженні: « Усі планети – це небесні тіла», - Суб'єкт і предикат знаходяться щодо підпорядкування, а в судженні: « Жоден кит не є рибою

Як правило, всі судження поділяють на три види:

1. Атрибутивні судження(Від лат. attributum– атрибут) – це судження, в яких предикат є якоюсь істотною, невід'ємною ознакою суб'єкта. Наприклад, судження: « Всі горобці – це птахи», - атрибутивне, тому що його предикат є невід'ємною ознакою суб'єкта: бути птахом - це головна ознака горобця, його атрибут, без якого він не буде самим собою (якщо об'єкт не птах, то він обов'язково і не горобець). Слід зазначити, що у атрибутивному судженні необов'язково предикат є атрибутом суб'єкта, то, можливо і навпаки – суб'єкт є атрибут предиката. Наприклад, у судженні: « Деякі птахи – це горобці» (як бачимо, порівняно з вищенаведеним прикладом, суб'єкт і предикат помінялися місцями), суб'єкт є невід'ємною ознакою (атрибутом) предикату. Однак ці міркування завжди можна формально змінити таким чином, що предикат стане атрибутом суб'єкта. Тому атрибутивними зазвичай називають ті міркування, в яких предикат є атрибутом суб'єкта.

2. Екзистенційні судження(Від лат. existentia– існування) – це судження, у яких предикат свідчить про існування чи неіснування суб'єкта. Наприклад, судження: « Вічних двигунів не буває», - є екзистенційним, тому що його предикат « не буває» свідчить про неіснування суб'єкта (вірніше - предмета, який позначений суб'єктом).

3. Релятивні судження(Від лат. relativus- Відносний) - це судження, в яких предикат виражає якесь відношення до суб'єкта. Наприклад, судження: « Москва заснована раніше за Санкт-Петербург», - є релятивним, тому що його предикат « заснована раніше Санкт-Петербурга» вказує на тимчасове (вікове) відношення одного міста та відповідного поняття до іншого міста та відповідного поняття, що є суб'єктом судження.

1. Що таке судження? Які його основні властивості та відмінності від поняття?

2. У яких мовних формах виражається судження? Чому питання й оклику пропозиції не можуть виявляти собою судження? Що таке риторичні питання та риторичні вигуки? Чи можуть вони бути формою висловлювання суджень?

3. Знайдіть у наведених нижче виразах мовні форми суджень:

1) Невже ти не знав, що Земля обертається довкола Сонця?

2) Прощавай, немите Росія!

3) Хто написав філософський трактат "Критика чистого розуму"?

4) Логіка з'явилася приблизно V ст. до зв. е. у Стародавній Греції.

5) Перший президент Америки.

6) Розвертайтесь у марші!

7) Ми всі вчилися потроху.

8) Спробуй-но рухатися зі швидкістю світла!

4. Чому поняття на відміну суджень не можуть бути істинними чи хибними? Що таке двозначна логіка?

5. Яка структура судження? Придумайте п'ять суджень і вкажіть у кожному їх суб'єкт, предикат, зв'язку і квантор.

6. У яких відносинах може бути суб'єкт і предикат судження? Наведіть три приклади для кожного випадку відносин між суб'єктом і предикатом: рівнозначності, перетину, підпорядкування, несумісності.

7. Визначте відносини між суб'єктом та предикатом і зобразіть їх за допомогою кругових схем Ейлера для наступних суджень:

1) Усі бактерії є живими організмами.

2) Деякі російські письменники – всесвітньо відомі люди.

3) Підручники не можуть бути розважальними книгами.

4) Антарктида є льодовим материком.

5) Деякі гриби неїстівні.

8. Що таке атрибутивні, екзистенційні та релятивні судження? Наведіть, самостійно підібравши, по п'ять прикладів для атрибутивних, екзистенційних та релятивних суджень.

Якщо в судженні присутні один суб'єкт і один предикат, воно є простим. Всі прості міркування щодо обсягу суб'єкта та якості зв'язки поділяються на чотири види. Обсяг суб'єкта може бути загальним («все») і приватним («деякі»), а зв'язка може бути ствердною («є») та негативною («не є»):

Обсяг суб'єкта ……………… «усі» «деякі»

Якість зв'язки ……………… «є» «не є»

Як бачимо, на основі обсягу суб'єкта та якості зв'язки можна виділити лише чотири комбінації, якими вичерпуються всі види простих суджень: «усі – є», «деякі – є», «усі – не є», «деякі – не є». Кожен із цих видів має свою назву та умовне позначення:

1. Загальноствердні судження A) – це судження із загальним обсягом суб'єкта та ствердною зв'язкою: «Всі Sє Р». Наприклад: « Усі школярі є учнями».

2. Приватностверджувальні судження(позначаються латинською літерою I) – це судження з приватним обсягом суб'єкта та ствердною зв'язкою: «Деякі Sє Р». Наприклад: « Деякі тварини є хижаками».

3. Загальнонегативні судження(позначаються латинською літерою E) – це судження із загальним обсягом суб'єкта та негативною зв'язкою: «Всі Sне їсти Р(або «Жодне Sне їсти Р»). Наприклад: « Усі планети не є зірками», « Жодна планета не є зіркою».

4. Приватнонегативні судження(позначаються латинською літерою O) – це судження з приватним обсягом суб'єкта та негативною зв'язкою: «Деякі Sне їсти Р». Наприклад: « ».

Далі слід відповісти на запитання, до яких міркувань – загальним або приватним – слід відносити судження з одиничним обсягом суб'єкта (тобто ті судження, в яких суб'єкт є поодиноким поняттям), наприклад: « Сонце – це небесне тіло», «Москва заснована 1147 р.», «Антарктида – це з материків Землі».Судження є загальним, якщо в ньому йдеться про весь обсяг суб'єкта, і приватним, якщо йдеться про частину обсягу суб'єкта. У судженнях з одиничним обсягом суб'єкта йдеться про весь обсяг суб'єкта (у наведених прикладах – про все Сонце, про всю Москву, про всю Антарктиду). Таким чином, судження, в яких суб'єкт є одиничним поняттям, вважаються загальними (загальноствердними чи загальнонегативними). Так, три наведені вище судження – загальноствердні, а судження: « Відомий італійський вчений епохи Відродження Галілео Галілей не є автором теорії електромагнітного поля», - Загальнонегативний.

Надалі говоритимемо про види простих суджень, не вживаючи їх довгих назв, за допомогою умовних позначень – латинських букв A, I, E, O. Ці букви, взяті з двох латинських слів: a ff i rmo– стверджувати та n e g o - Заперечувати, були запропоновані як позначення видів простих суджень ще в Середні віки.

Важливо, що у кожному з видів простих суджень суб'єкт і предикат перебувають у певних відносинах. Так, загальний обсяг суб'єкта та ствердна зв'язка суджень виду Aпризводять до того, що в них суб'єкт і предикат можуть бути у відносинах рівнозначності чи підпорядкування (інших відносин між суб'єктом та предикатом у судженнях виду Aбути не може). Наприклад, у судженні: « Усі квадрати (S) – це рівносторонні прямокутники (Р)», - Суб'єкт і предикат знаходяться щодо рівнозначності, а в судженні: « Усі кити (S) – це ссавці (Р)», – щодо підпорядкування.

Приватний обсяг суб'єкта та ствердна зв'язка суджень виду Iобумовлюють те, що у них суб'єкт і предикат може бути у відносинах перетину чи підпорядкування (але не інших). Наприклад, у судженні: « Деякі спортсмени (S) – це негри (Р)», - Суб'єкт і предикат знаходяться щодо перетину, а в судженні: « Деякі дерева (S) – це сосни (Р)», – щодо підпорядкування.

Загальний обсяг суб'єкта та негативна зв'язка суджень виду Eпризводять до того, що в них суб'єкт та предикат знаходяться лише щодо несумісності. Наприклад, у судженнях: « Усі кити (S) – це не риби (Р)», «Всі планети (S) не є зірками (Р)», «Всі трикутники (S) – це не квадрати (Р)»», – суб'єкт та предикат несумісні.

Приватний обсяг суб'єкта та негативна зв'язка суджень виду Oобумовлюють те, що у них суб'єкт і предикат, як і й у судженнях виду I, можуть бути лише у відносинах перетину та підпорядкування. Читач легко зможе підібрати приклади суджень виду O, в яких суб'єкт та предикат перебувають у цих відносинах.

1. Що таке просте судження?

2. На якій підставі прості судження поділяються на види? Чому вони діляться саме на чотири види?

3. Охарактеризуйте всі види простих суджень: назву, структуру, умовне позначення. Придумайте приклад кожного з них. До яких міркувань – загальним чи приватним – відносяться судження з поодиноким обсягом суб'єкта?

4. Звідки взято букви для позначення видів простих суджень?

5. У яких відносинах може бути суб'єкт і предикат у кожному з видів простих суджень? Подумайте, чому в судженнях виду Aсуб'єкт та предикат не можуть перетинатися чи бути несумісними? Чому у судженнях виду Iсуб'єкт і предикат що неспроможні перебувати у відносинах рівнозначності чи несумісності? Чому у судженнях виду Eсуб'єкт і предикат не можуть бути рівнозначними, що перетинаються чи підлеглими? Чому у судженнях виду Oсуб'єкт і предикат що неспроможні перебувати щодо рівнозначності чи несумісності? Зобразіть колами Ейлера можливі відносини між суб'єктом та предикатом у всіх видах простих суджень.

Термінами судженняназиваються його суб'єкт та предикат.

Термін вважається розподіленим(розгорнутим, вичерпаним, взятим у повному обсязі), якщо в судженні йдеться про всі об'єкти, що входять до обсягу цього терміна. Розподілений термін позначається знаком «+», але в схемах Ейлера зображується повним колом (кругом, який містить у собі іншого кола і перетинається з іншим колом) (рис. 22).

Термін вважається нерозподіленим(нерозгорнутим, невичерпаним, взятим над повному обсязі), якщо у судженні йдеться про всіх об'єктах, які входять у обсяг цього терміна. Нерозподілений термін позначається знаком «–», а на схемах Ейлера зображується неповним колом (колом, що містить у собі інше коло). a) або перетинається з іншим колом (рис. 23, б).

Наприклад, у судженні: « Усі акули (S) є хижаками (Р)», – мова йде про всі акули, отже, суб'єкт цього судження розподілений.

Однак у цьому судженні йдеться не про всіх хижаків, а лише про частину хижаків (саме про тих, які є акулами), отже, предикат вказаного судження нерозподілений. Зобразивши відносини між суб'єктом і предикатом (що знаходяться щодо підпорядкування) розглянутого судження схемами Ейлера, побачимо, що розподіленому терміну (суб'єкту « акули») відповідає повне коло, а нерозподіленому (предикату « хижаки») - Неповний (що потрапляє в нього коло суб'єкта як би вирізає з нього якусь частину):

Розподіл термінів у простих судженнях може бути різною залежно від виду судження і характеру відносин між його суб'єктом і предикатом. У табл. 4 представлені всі випадки розподіленості термінів у простих судженнях:

Тут розглянуто всі чотири види простих суджень і всі можливі випадки відносин між суб'єктом та предикатом у них (див. розділ 2.2). Зверніть увагу на судження виду O, в якому суб'єкт та предикат знаходяться щодо перетину. Незважаючи на кола, що перетинаються, на схемі Ейлера, суб'єкт даного судження нерозподілений, а предикат розподілений. Чому так виходить? Вище ми говорили про те, що кола Ейлера, що перетинаються на схемі, позначають нерозподілені терміни. Штрихуванням показано та частина суб'єкта, про яку йдеться в судженні (в даному випадку - про школярів, які спортсменами не є), внаслідок чого коло, що позначає на схемі Ейлера предикат, залишилося повним (коло, що позначає суб'єкт, не відрізає від нього якусь -то частина, як це відбувається у судженні виду I, де суб'єкт та предикат знаходяться щодо перетину).

Отже, бачимо, що суб'єкт завжди розподілений у судженнях виду Aі Eі завжди не розподілений у судженнях виду Iі O, а предикат завжди розподілений у судженнях виду Eі O, але у судженнях виду Aі Iвін може бути як розподіленим, так і нерозподіленим залежно від характеру відносин між ним та суб'єктом у цих судженнях.

Найпростіше встановлювати розподіл термінів у простих судженнях за допомогою схем Ейлера (всі випадки розподілу з таблиці запам'ятовувати зовсім не обов'язково). Достатньо вміти визначати вид відносин між суб'єктом та предикатом у запропонованому судженні та зображати їх круговими схемами. Далі ще простіше – повне коло, як говорилося, відповідає розподіленому терміну, а неповний – нерозподіленому. Наприклад, потрібно встановити розподіл термінів у судженні: « Деякі російські письменники – це всесвітньо відомі люди». Спочатку знайдемо у цьому судженні суб'єкт і предикат: « російські письменники- суб'єкт, всесвітньо відомі люди»- Предикат. Тепер встановимо, в якому відношенні вони. Російський письменник може бути, і бути всесвітньо відомим людиною, і всесвітньо відома людина може бути, і бути російським письменником, отже, суб'єкт і предикат зазначеного судження перебувають у відношенні перетину. Зобразимо це ставлення на схемі Ейлера, заштрихувавши ту частину, про яку йдеться у судженні (рис. 25):

І суб'єкт, і предикат зображуються неповними колами (у кожного їх як би відрізана якась частина), отже, обидва терміни запропонованого судження нерозподілені ( S –, P –).

Розглянемо ще один приклад. Треба встановити розподіл термінів у судженні: « ». Знайшовши у цьому судженні суб'єкт і предикат: « люди- суб'єкт, спортсмени»- Предикат, і встановивши ставлення між ними - підпорядкування, зобразимо його на схемі Ейлера, заштрихувавши ту частину, про яку йдеться в судженні (рис. 26):

Коло, що означає предикат, є повним, а коло, що відповідає суб'єкту, - неповним (коло предикату ніби вирізає з нього якусь частину). Таким чином, у цьому судженні суб'єкт нерозподілений, а предикат розподілений ( S –, P –).

1. У якому разі термін судження вважається розподіленим, а якому – нерозподіленим? Як за допомогою кругових схем Ейлера можна встановити розподіл термінів у простому судженні?

2. Яка розподіленість термінів у всіх видах простих суджень та у всіх випадках відносин між їх суб'єктом та предикатом?

3. За допомогою схем Ейлера встановіть розподіл термінів у наступних судженнях:

1) Усі комахи є живими організмами.

2) Деякі книги – це підручники.

3) Деякі учні не є успішними.

4) Усі міста – це населені пункти.

5) Жодна риба не є ссавцем.

6) Деякі давні греки є відомими вченими.

7) Деякі небесні тіла – це зірки.

8) Усі ромби із прямими кутами – це квадрати.

Існує три способи перетворення, тобто зміни форми, простих суджень: звернення, перетворення та протиставлення предикату.

Звернення (конверсія) – це перетворення простого судження, у якому суб'єкт і предикат змінюються місцями. Наприклад, судження: « Усі акули є рибами», - Перетворюється шляхом звернення на судження: « ». Тут може виникнути питання, чому вихідне судження починається з квантора. всі», а нове – з квантора « деякі»? Це питання, на перший погляд, здається дивним, адже не можна сказати: « Усі риби є акулами», - Отже, єдине, що залишається, це: « Деякі риби є акулами». Однак у цьому випадку ми звернулися до змісту судження і за змістом змінили квантор. всіна квантор « деякі»; а логіка, як говорилося, відволікається від змісту мислення і займається лише його формою. Тому звернення судження: « Усі акули є рибами», – можна виконати формально, не звертаючись до його змісту (змісту). Для цього встановимо розподіл термінів у цьому судженні за допомогою кругової схеми. Терміни судження, тобто суб'єкт « акулиі предикат « риби», перебувають у цьому випадку щодо підпорядкування (рис. 27):

На круговій схемі видно, що суб'єкт розподілений (повне коло), а предикат нерозподілений (неповне коло). Згадавши, що термін розподілений, коли йдеться про всі предмети, що входять до нього, і нерозподілений, коли – не про всі, ми автоматично подумки ставимо перед терміном « акули"квантор" всі», а перед терміном « риби"квантор" деякі». Роблячи звернення зазначеного судження, тобто змінюючи місцями його суб'єкт і предикат і починаючи нове судження з терміна « риби», ми знову ж таки автоматично постачаємо його квантором « деякі», не замислюючись про зміст вихідного та нового суджень, і отримуємо безпомилковий варіант: « Деякі риби є акулами». Можливо, все це видасться надмірним ускладненням елементарної операції, проте, як побачимо далі, в інших випадках перетворення суджень зробити непросто без використання розподіленості термінів та кругових схем.

Звернемо увагу на те, що у розглянутому вище прикладі вихідне судження було виду A, а нове – виду I, Т. е. Операція звернення призвела до зміни виду простого судження. При цьому, звичайно ж, змінилася його форма, але не змінилося зміст, адже в судженнях: « Усі акули є рибами» та « Деякі риби є акулами», – мова йде про одне й те саме. У табл. 5 представлені всі випадки звернення залежно від виду простого судження та характеру відносин між його суб'єктом та предикатом:

Судження виду A I. Судження виду Iзвертається або до самого себе, або до судження виду A. Судження виду Eзавжди звертається до самого себе, а судження виду Oне піддається зверненню.

Другий спосіб перетворення простих суджень, званий перетворенням (обверсією), у тому, що з судження змінюється зв'язка: позитивна на негативну, чи навпаки. У цьому предикат судження замінюється суперечливим поняттям (т. е. перед предикатом ставиться частка «не»). Наприклад, те саме судження, яке ми розглядали як приклад для звернення: « Усі акули є рибами», - Перетворюється шляхом перетворення на судження: « ». Це судження може здатися дивним, адже зазвичай так не говорять, хоча насправді перед нами більш коротке формулювання тієї думки, що жодна акула не може бути такою істотою, яка не є рибою, або що багато акул виключається з безлічі всіх істот, які є рибами. Суб'єкт « акулиі предикат « не рибисудження, що вийшло в результаті перетворення, знаходяться щодо несумісності.

Наведений приклад перетворення демонструє важливу логічну закономірність: будь-яке твердження одно подвійне заперечення, і навпаки. Як бачимо, вихідне судження виду Aвнаслідок перетворення стало судженням виду E. На відміну від звернення перетворення залежить від характеру відносин між суб'єктом і предикатом простого судження. Тому судження виду A E, а судження виду E- На думку виду A. Судження виду Iзавжди перетворюється на судження виду O, а судження виду O- На думку виду I(Рис. 28).

Третій спосіб перетворення простих суджень – протиставлення предикату- У тому, що спочатку судження піддається перетворенню, а потім зверненню. Наприклад, щоб шляхом протиставлення предикату перетворити судження: « Усі акули є рибами», - Треба спочатку піддати його перетворенню. Вийде: « Усі акули не є не рибами». Тепер треба здійснити поводження з судженням, тобто поміняти місцями його суб'єкт акулиі предикат « не риби». Щоб не помилитися, знову вдамося до встановлення розподіленості термінів за допомогою кругової схеми (суб'єкт та предикат у цьому судженні знаходяться щодо несумісності) (рис. 29):

На круговій схемі видно, що і суб'єкт, і предикат розподілені (і тому, і іншому терміну відповідає повне коло), отже, ми маємо супроводити як суб'єкт, так і предикат квантором всі». Після цього звернімося з судженням: « Усі акули не є не рибами». Вийде: « Усі не риби не є акулами». Судження звучить незвично, проте це – більш коротке формулювання тієї думки, що якщо якась істота не є рибою, вона ніяк не може бути акулою, або що всі істоти, які не є рибами, автоматично не можуть бути і акулами в тому числі . Звернення можна було зробити і простіше, подивившись у табл. 5 для звернення, що наведено вище. Побачивши, що судження виду Eзавжди звертається до себе, ми могли, не використовуючи кругової схеми і не встановлюючи розподіленості термінів, відразу поставити перед предикатом. не риби"квантор" всі». У разі був запропонований інший спосіб, щоб показати, що можна обійтися без табл. для звернення, і запам'ятовувати її необов'язково. Тут відбувається приблизно те саме, що і в математиці: можна запам'ятовувати різні формули, але можна обійтися і без запам'ятовування, тому що будь-яку формулу неважко вивести самостійно.

Всі три операції перетворення простих суджень найпростіше здійснювати за допомогою кругових схем. Для цього треба зобразити три терміни: суб'єкт, предикат та поняття, що суперечить предикату (непредикат). Потім слід встановити їх розподіленість, і з схеми Ейлера, що вийшла, будуть витікати чотири судження - одне вихідне і три результати перетворень. Головне, пам'ятати, що розподілений термін відповідає квантору. всі», а нерозподілений – квантору « деякі»; що торки, що стикаються на схемі Ейлера, відповідають зв'язці. є», а недоторканні - зв'язці « не є». Наприклад, потрібно здійснити три операції перетворення з думкою: « Усі підручники є книгами». Зобразимо суб'єкт « підручники», предикат « книгиі непредикат « не книги» круговою схемою та встановимо розподіленість цих термінів (рис. 30):

1. Усі підручники є книгами(Вихідне судження).

2. Деякі книги є підручниками(Звернення).

3. Усі підручники не є не книгами(перетворення).

4. Усі не книги не є підручниками

Розглянемо ще один приклад. Треба перетворити трьома способами судження: « Усі планети не є зірками». Зобразимо колами Ейлера суб'єкт « планети», предикат « зіркиі непредикат « не зірки». Поняття « планети» та « не зірки»знаходяться щодо підпорядкування: планета – це обов'язково не зірка, але небесне тіло, яке не є зіркою – це не обов'язково планета. Встановимо розподіленість цих термінів (рис. 31):

1. Усі планети не є зірками(Вихідне судження).

2. Усі зірки не є планетами(Звернення).

3. Усі планети є не зірками(перетворення).

4. Деякі не зірки є планетами(Протиставлення предикату).

1. Як здійснюється операція звернення? Візьміть три будь-які судження і зробіть з кожним з них звернення. Як відбувається звернення у всіх видах простих суджень та у всіх випадках відносин між їх суб'єктом та предикатом? Які міркування не піддаються зверненню?

2. Що таке перетворення? Візьміть три будь-які судження і зробіть з кожним з них операцію перетворення.

3. Що таке операція протиставлення предикату? Візьміть три будь-які судження і перетворіть кожне з них шляхом протиставлення предикату.

4. Як знання про розподіл термінів у простих судженнях та вміння її встановлювати за допомогою кругових схем може допомогти у проведенні операцій перетворення суджень?

5. Візьміть якесь судження виду Aі здійсніть з ним усі операції перетворення за допомогою кругових схем та встановлення розподіленості термінів. Зробіть те саме з яким-небудь судженням виду E.

Прості судження поділяються на порівняні та незрівнянні.

Порівнянні (ідентичні за матеріалом)судження мають однакові суб'єкти та предикати, але можуть відрізнятися кванторами та зв'язками. Наприклад, судження: « », « Деякі школярі не вивчають математику», - є порівнянними: у них збігаються суб'єкти та предикати, а квантори та зв'язки різняться. Незрівняннісудження мають різні суб'єкти та предикати. Наприклад, судження: « Усі школярі вивчають математику», « Деякі спортсмени – це олімпійські чемпіони», - є незрівнянними: суб'єкти та предикати у них не збігаються.

Порівнянні судження бувають, як і поняття, сумісними і несумісними і можуть бути у різних відносинах між собою.

Сумісниминазиваються судження, які можуть бути водночас істинними. Наприклад, судження: « Деякі люди – це спортсмени», « Деякі люди – це не спортсмени», - є одночасно істинними і є сумісні судження.

Несумісниминазиваються судження, які можуть бути одночасно істинними: істинність однієї з них обов'язково означає помилковість іншого. Наприклад, судження: « Усі школярі вивчають математику», «Деякі школярі не вивчають математику», - не можуть бути одночасно істинними і є несумісними (істинність першого судження з неминучістю призводить до хибності другого).

Сумісні судження можуть перебувати у таких відносинах:

1. Рівнозначність– це відношення між двома судженнями, які мають і суб'єкти, і предикати, і зв'язки, і квантори збігаються. Наприклад, судження: « Москва є давнім містом»,

« Столиця Росії є давнім містом», – перебувають щодо рівнозначності.

2. Підпорядкування– це відношення між двома судженнями, у яких предикати та зв'язки збігаються, а суб'єкти перебувають щодо виду та роду. Наприклад, судження: « Усі рослини є живими організмами», « Усі квіти (деякі рослини) є живими організмами», – перебувають щодо підпорядкування.

3. Частковий збіг (Субконтрарність) Деякі гриби є їстівними», « Деякі гриби не є їстівними», – перебувають щодо часткового збігу. Слід зазначити, що у цьому відношенні перебувають лише приватні судження – частноутвердительные ( I) та приватнонегативні ( O).

Несумісні судження можуть бути у таких відносинах.

1. Протилежність (Контрарність)– це ставлення між двома судженнями, які мають суб'єкти і предикати збігаються, а зв'язки різняться. Наприклад, судження: « Усі люди є правдивими», « », – перебувають щодо протилежності. У цьому відношенні можуть бути лише загальні судження – загальноствердні ( A) та загальнонегативні ( E). Важливою ознакою протилежних думок є те, що вони не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно помилковими. Так, дві наведені протилежні судження не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно помилковими: неправда, що всі люди є правдивими, але також неправда, що всі люди не є правдивими.

Протилежні судження можуть бути одночасно помилковими, тому що між ними, що позначають якісь крайні варіанти, завжди є третій, середній проміжний варіант. Якщо цей середній варіант буде істинним, то два крайні виявляться хибними. Між протилежними (крайніми) судженнями: « Усі люди є правдивими», « Усі люди не є правдивими», - Є третій, середній варіант: « Деякі люди є правдивими, а деякі не є такими», - який, будучи істинним судженням, зумовлює одночасну хибність двох крайніх, протилежних суджень.

2. Протиріччя (Контрадикторність)- Це відношення між двома судженнями, у яких предикати збігаються, зв'язки різні, а суб'єкти відрізняються своїми обсягами, тобто знаходяться щодо підпорядкування (виду та роду). Наприклад, судження: « Усі люди є правдивими», «Деякі люди не є правдивими», – перебувають щодо протиріччя. Важливою ознакою судів, що суперечать, на відміну від протилежних, є те, що між ними не може бути третього, середнього, проміжного варіанту. Через це два суперечливі судження не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними: істинність одного з них обов'язково означає хибність іншого, і навпаки - хибність одного зумовлює істинність іншого. До протилежних і суперечливих міркувань ми ще повернемося, коли мова піде про логічні закони протиріччя та виключеного третього.

Розглянуті відносини між простими порівнянними судженнями зображуються схематично за допомогою логічного квадрата (рис. 32), розробленого ще середньовічними логіками:

Вершини квадрата позначають чотири види простих суджень, яке сторони і діагоналі – відносини з-поміж них. Так, судження виду Aта виду I, а також судження виду Eта виду Oзнаходяться щодо підпорядкування. Судження виду Aта виду Eзнаходяться щодо протилежності, а судження виду Iта виду O- Часткового збігу. Судження виду Aта виду O, а також судження виду Eта виду Iзнаходяться щодо протиріччя. Не дивно, що логічний квадрат не зображує ставлення рівнозначності, тому що в цьому відношенні знаходяться однакові на вигляд судження, тобто рівнозначність – це відношення між судженнями Aі A, Iі I, Eі E, Oі O. Щоб встановити ставлення між двома судженнями, досить визначити, якого виду належить кожне з них. Наприклад, треба з'ясувати, в якому відношенні перебувають судження: « Усі люди вивчали логіку», « Деякі люди не вивчали логіки». Бачачи, що перше судження є загальноствердним ( A), а друге приватнонегативним ( O), ми легко встановлюємо ставлення з-поміж них з допомогою логічного квадрата – протиріччя. Судження: « Усі люди вивчали логіку (A)», « Деякі люди вивчали логіку (I)», Що стосується підпорядкування, а судження: « Усі люди вивчали логіку (A)», « Усі люди не вивчали логіку (E)», – перебувають щодо протилежності.

Як мовилося раніше, важливою властивістю суджень, на відміну понять, і те, що можуть бути істинними чи хибними.

Що ж до порівняльних суджень, то істиннісні значення кожного їх певним чином пов'язані з істиннісними значеннями інших. Так, якщо судження виду Aє істинним або хибним, то три інших ( I, E, O), порівняних з ним судження (мають подібні до нього суб'єкти і предикати), залежно від цього (від істинності чи хибності судження виду) A) теж є істинними чи хибними. Наприклад, якщо судження виду A: « Усі тигри – це хижаки», - є істинним, то судження виду I: « Деякі тигри – це хижаки», - також є істинним (якщо всі тигри - хижаки, то і частина з них, тобто деякі тигри - це теж хижаки), судження виду E: « Усі тигри – це не хижаки», - є хибним, і судження виду O: « Деякі тигри – це не хижаки», - також є хибним. Таким чином, у даному випадку з істинності судження виду Aвитікає істинність судження виду Iі хибність суджень виду Eта виду O(Зрозуміло, йдеться про порівняні судження, тобто мають однакові суб'єкти і предикати).

1. Які судження називаються порівнянними та які – незрівнянними?

2. Що таке сумісні та несумісні судження? Наведіть три приклади сумісних і несумісних суджень.

3. У яких стосунках можуть бути сумісні судження? Наведіть два приклади для відносин рівнозначності, підпорядкування і часткового збігу.

4. У яких відносинах можуть бути несумісні судження?

Наведіть три приклади для відносин протилежності і протиріччя. Чому протилежні судження можуть бути одночасно хибними, а суперечать не можуть?

5. Що таке логічний квадрат? Як він зображує відносини між судженнями? Чому логічний квадрат не зображує ставлення до рівнозначності? Як за допомогою логічного квадрата визначати відношення між двома простими порівнянними судженнями?

6. Візьміть якесь справжнє чи хибне судження виду Aі зробіть з нього висновки про істинність порівнянних з ним суджень видів E, I, O. Візьміть якесь справжнє чи хибне судження виду Eі зробіть з нього висновки про істинність порівнянних з ним суджень A, I, O.

Залежно від союзу, за допомогою якого прості судження поєднуються у складні, виділяється п'ять видів складних суджень:

1. Кон'юнктивне судження (кон'юнкція)– це складне судження зі сполучною спілкою «і», яка позначається у логіці умовним знаком «?». За допомогою цього знака кон'юнктивне судження, що складається з двох простих суджень, можна подати у вигляді формули: a ? b(читається « aі b»), де aі b– це два якихось простих судження. Наприклад, складне судження: « Блискала блискавка, і загримів грім», - є кон'юнкцією (з'єднанням) двох простих суджень: «Зблиснула блискавка», «Загримів грім». Кон'юнкція може складатися не тільки з двох, але і з більшої кількості простих суджень. Наприклад: « Блискала блискавка, і загримів грім, і пішов дощ (a ? b ? c)».

2. Диз'юнктивне судження (диз'юнкція)– це складне судження з роздільною спілкою «або». Згадаймо, що, говорячи про логічні операції складання та множення понять, ми відзначали неоднозначність цього союзу – він може використовуватися як у нестрогому (невиключному) значенні, так і в строгому (що виключає). Не дивно тому, що диз'юнктивні судження поділяються на два види:

1. Нестрога диз'юнкція– це складне судження з розділовим союзом «або» у його нестрогому (не виключає) значенні, що позначається умовним знаком «?». За допомогою цього знака несуворе диз'юнктивне судження, що складається з двох простих суджень, можна подати у вигляді формули: a ? b(читається « aабо b»), де aі b Він вивчає англійську, або він вивчає німецьку», - є суворою диз'юнкцією (поділом) двох простих суджень: «Він вивчає англійську», «Він вивчає німецьку».Ці судження один одного не виключають, адже можливо вивчати і англійську, і німецьку одночасно, тому дана диз'юнкція є не суворою.

2. Сувора диз'юнкція– це складне судження з розділовим союзом «або» у його строгому (що виключає) значенні, що позначається умовним знаком «». За допомогою цього знака суворе диз'юнктивне судження, що складається з двох простих суджень, можна подати у вигляді формули: a b(читається «або a, або b»), де aі b- Це два простих судження. Наприклад, складне судження: « Він навчається у 9 класі, або він навчається у 11 класі», - є суворою диз'юнкцією (поділом) двох простих суджень: «Він навчається у 9 класі», «Він навчається в 11 класі». Звернемо увагу на те, що ці судження один одного виключають, адже неможливо одночасно вчитися і в 9, і в 11 класі (якщо він навчається в 9 класі, то точно не вчиться в 11 класі, і навпаки), через що дана диз'юнкція є строгою.

Як нестрога, так і строга диз'юнкції можуть складатися не тільки з двох, але і з більшої кількості простих суджень. Наприклад: « Він вивчає англійську, або він вивчає німецьку, або він вивчає французьку (a? b? c)», « Він навчається у 9 класі, або він навчається у 10 класі, або він навчається у 11 класі (a b c)».

3. Імплікативне судження (імплікація)– це складне судження з умовним союзом «якщо … то», що позначається умовним знаком «>». За допомогою цього знака імплікативне судження, що складається з двох простих суджень, можна подати у вигляді формули: a > b(читається «якщо a, то b»), де aі b- Це два простих судження. Наприклад, складне судження: « Якщо речовина є металом, то вона електропровідна», - являє собою імплікативне судження (причинно-наслідковий зв'язок) двох простих суджень: «Речовина є металом», «Речовина електропровідна». У разі ці два судження пов'язані в такий спосіб, що з першого випливає друге (якщо речовина – метал, воно обов'язково електропровідно), проте з другого не випливає перше (якщо речовина електропровідно, це зовсім отже, що вона є металом). Перша частина імплікації називається основою, а друга – наслідком; із підстави випливає слідство, але зі слідства не випливає підстава. Формулу імплікації: a > b, можна прочитати так: «якщо a, то обов'язково b, але якщо b, то не обов'язково a».

4. Еквівалентне судження (еквівалентність)– це складне судження із союзом «якщо… то» не в його умовному значенні (як у випадку з імплікацією), а в тотожному (еквівалентному). У разі цей союз позначається умовним знаком «», з допомогою якого еквівалентне судження, що з двох простих суджень, можна як формули: a b(читається «якщо a, то b, і якщо b, то a»), де aі b- Це два простих судження. Наприклад, складне судження: « Якщо число є парним, воно ділиться без залишку на 2», - являє собою еквівалентне судження (рівність, тотожність) двох простих суджень: «Кількість є парною», «Кількість ділиться без залишку на 2». Неважко помітити, що в даному випадку два судження пов'язані так, що з першого випливає друге, а з другого – перше: якщо число парне, воно обов'язково ділиться без залишку на 2, а якщо число ділиться без залишку на 2, то воно обов'язково парне . Зрозуміло, що у еквіваленції, на відміну імплікації, може бути ні підстави, ні слідства, т. до. дві частини є рівнозначними судженнями.

5. Негативне судження (заперечення)– це складне судження із союзом «невірно, що…», який позначається умовним знаком «¬». За допомогою цього знака негативне судження можна подати у вигляді формули: ¬ a(читається «невірно, що a»), де a- Це просте судження. Тут може виникнути питання – де друга частина складного судження, яку ми зазвичай позначали символом b? У записі: ¬ a, вже присутні два простих судження: a– це якесь твердження, а знак «¬» – його заперечення. Перед нами хіба що два простих судження – одне ствердне, інше – негативне. Приклад негативного судження: « Невірно, що всі мухи є птахами».

Отже, ми розглянули п'ять видів складних суджень: кон'юнкцію, диз'юнкцію (нестрогу та сувору), імплікацію, еквівалентність та заперечення.

Союзів у природній мові багато, але всі вони за змістом зводяться до розглянутих п'яти видів, і будь-яке складне судження відноситься до одного з них. Наприклад, складне судження: « Аж опівночі наближається, а Германа все ні», - є кон'юнкцією, тому що в ньому союз « а» Використовується в ролі сполучного союзу «і». Складне судження, у якому взагалі немає спілки: « Посієш вітер, пожнеш бурю», - є імплікацією, тому що два простих судження в ньому пов'язані за змістом умовним союзом «якщо ... то».

Будь-яке складне судження є істинним чи хибним залежно від істинності чи хибності простих суджень, що входять до нього. Наведено табл. 6 істинності всіх видів складних суджень залежно від усіх можливих наборів істиннісних значень двох простих суджень, що входять до них (таких наборів всього чотири): обидва простих судження істинні; перше судження істинне, а друге хибне; перше судження хибне, а друге істинне; обидва судження помилкові).

Як бачимо, кон'юнкція істинна тільки тоді, коли істинні обидва простих судження, що входять до неї. Слід зазначити, що кон'юнкція, що складається з двох, та якщо з більшої кількості простих суджень, також істинна лише тому випадку, коли істинні всі судження, що входять до неї. У решті випадків вона є хибною. Нестрога диз'юнкція, навпаки, істинна у всіх випадках за винятком того, коли обидва входять до неї простих судження помилкові. Нестрога диз'юнкція, що складається не з двох, а з більшої кількості простих суджень, також хибна тільки тоді, коли хибні всі прості судження, що входять до неї. Сувора диз'юнкція істинна тільки тоді, коли одне просте судження, що входить до неї, істинно, а інше хибне. Сувора диз'юнкція, що складається не з двох, а з більшого числа простих суджень, істинна тільки в тому випадку, якщо істинно тільки одне з простих суджень, що входять до неї, а всі інші помилкові. Імплікація хибна лише одному випадку – коли її основа є істинним, а наслідок хибним. У решті випадків вона істинна. Еквіваленція істинна тоді, коли два складових її простих судження істинні чи обидва є хибними. Якщо одна частина еквіваленції істинна, а інша хибна, то еквіваленція хибна. Найпростіше визначається істинність заперечення: коли твердження істинне, його заперечення є хибним; коли твердження хибне, його заперечення є істинним.

1. На якій підставі виділяються види складних суджень?

2. Охарактеризуйте всі види складних суджень: назву, спілку, умовну позначку, формулу, приклад. Чим відрізняється нестрога диз'юнкція від суворої? Як вирізнити імплікацію від еквіваленції?

3. Як можна визначити вид складного судження, якщо в ньому замість спілок «і», «або», «якщо… то» вживаються будь-які інші союзи?

4. Наведіть три приклади для кожного виду складних суджень, не використовуючи при цьому союзів «і», «або», «якщо…то».

5. Визначте, до якого виду належать такі складні судження:

1. Жива істота є людиною тільки тоді, коли вона має мислення.

2. Людство може загинути чи то від виснаження земних ресурсів, чи то від екологічної катастрофи, чи то внаслідок третьої світової війни.

3. Вчора він отримав двійку не лише з математики, але ще й з російської.

4. Провідник нагрівається коли через нього проходить електричний струм.

5. Навколишній світ або пізнаваний, або ні.

6. Або він абсолютно бездарний, або ж повний ледащо.

7. Коли людина лестить, вона бреше.

8. Вода перетворюється на лід лише за температури від 0 °C і нижче.

6. Від чого залежить істинність складних суджень? Які значення істинності приймають кон'юнкція, нестрога і строга диз'юнкція, імплікація, еквівалентність і заперечення залежно від усіх наборів істиннісних значень простих суджень, що входять до них?

Будь-яке висловлювання чи ціле міркування можна піддати формалізації. Це означає відкинути його зміст і залишити лише його логічну форму, висловивши її за допомогою вже відомих нам умовних позначень кон'юнкції, суворої та суворої диз'юнкції, імплікації, еквівалентності та заперечення.

Наприклад, щоб формалізувати такий вислів: « Він займається живописом, чи музикою, чи літературою», - Треба спочатку виділити входять до нього прості судження і встановити вид логічного зв'язку між ними. У наведене висловлювання входять три простих судження: "Він займається живописом", "Він займається музикою", "Він займається літературою".

Ці судження об'єднані розділовим зв'язком, однак вони один одного не виключають (можна займатися і живописом, і музикою, і літературою), отже, перед нами – нестрога диз'юнкція, форму якої можна представити наступним умовним записом: a ? b ? c, де a, b, c- Вказані вище прості судження. Форму: a ? b ? c, можна наповнити будь-яким змістом, наприклад: « Цицерон був політиком, чи оратором, чи письменником», «Він вивчає англійську, чи німецьку, чи французьку», «Люди пересуваються наземним, чи повітряним, чи водним транспортом».

Формалізуємо міркування: « Він навчається у 9 класі, або у 10 класі, або у 11 класі. Однак відомо, що він не навчається ні в 10, ні в 11 класі. Отже, він навчається у 9 класі». Виділимо прості висловлювання, що входять до цієї міркування і позначимо їх маленькими літерами латинського алфавіту: «Він навчається у 9 класі (a)», «Він навчається у 10 класі (b)», «Він навчається в 11 класі (c)». Перша частина міркування є суворою диз'юнкцією цих трьох висловлювань: a ? b ? c. Друга частина міркування є запереченням другого: ¬ b, і третього: ¬ c, висловлювань, причому ці два заперечення з'єднуються, тобто пов'язані кон'юнктивно: ¬ b ? ¬ c. Кон'юнкція заперечень приєднується до згаданої вище суворої диз'юнкції трьох простих суджень: ( a ? b ? c) ? (¬ b ? ¬ c), і вже з цієї нової кон'юнкції як наслідок випливає твердження першого простого судження: « Він навчається у 9 класі». Логічне проходження, як ми вже знаємо, є імплікацією. Таким чином, результат формалізації нашого міркування виражається формулою: (( a ? b ? c) ? (¬ b ?¬ c)) > a. Цю логічну форму можна заповнити будь-яким змістом. Наприклад: « Вперше людина полетіла в космос в 1957 р., або в 1959 р., або в 1961 р. Проте, відомо, що вперше людина полетіла в космос не в 1957 р. і не в 1959 р. Отже, вперше людина полетіла в космос 1961 р.Ще один варіант: « Філософський трактат «Критика чистого розуму» написав чи Іммануїл Кант, чи Георг Гегель, чи Карл Маркс. Проте, ні Гегель, ні Маркс є авторами цього трактату. Отже, його написав Кант».

Результатом формалізації будь-якого міркування, як ми побачили, є будь-яка формула, що складається з маленьких букв латинського алфавіту, що виражають прості висловлювання, що входять до міркування, і умовних позначень логічних зв'язків між ними (кон'юнкції, диз'юнкції та ін.). Усі формули діляться у логіці на три види:

1. Тотожно-справжні формулиє істинними при всіх наборах істиннісних значень змінних, що входять до них (простих суджень). Будь-яка тотожно-справжня формула є логічний закон.

2. Тотожно-хибні формулиє хибними при всіх наборах істиннісних значень змінних, що входять до них.

Тотожно-хибні формули є заперечення тотожно-істинних формул і є порушенням логічних законів.

3. Виконані (нейтральні) формулипри різних наборах істиннісних значень вхідних до них змінних є істинними, то хибними.

Якщо результаті формалізації будь-якого міркування виходить тотожно-истинная формула, таке міркування є логічно бездоганним. Якщо ж результатом формалізації буде тотожно-хибна формула, то міркування слід визнати логічно невірним (помилковим). Здійсненна (нейтральна) формула свідчить про логічну коректність того міркування, формалізацією якого вона є.

Щоб визначити, якого виду належить та чи інша формула, і, відповідно, оцінити логічну вірність якогось міркування, зазвичай становлять спеціальну таблицю істинності цієї формули. Розглянемо таку міркування: « Володимир Володимирович Маяковський народився 1891 р. чи 1893 р. Проте відомо, що він народився над 1891 р. Отже, він народився 1893 р.». Формалізуючи це міркування, виділимо прості висловлювання, що входять до нього: «Володимир Володимирович Маяковський народився 1891 р.». «Володимир Володимирович Маяковський народився 1893 р.». Перша частина нашої міркування, безсумнівно, є суворою диз'юнкцією цих двох простих висловлювань: a ? b. Далі до диз'юнкції приєднується заперечення першого простого висловлювання, і виходить кон'юнкція: ( a ? b) ? ¬ a. І, нарешті, з цієї кон'юнкції випливає твердження другого простого судження, і виходить імплікація: (( a ? b) ? ¬ a) > bяка є результатом формалізації даного міркування. Тепер треба скласти табл. 7 істинності для формули, що вийшла:

Кількість рядків у таблиці визначається за правилом: 2 n , де n - Число змінних (простих висловлювань) у формулі. Оскільки в нашій формулі лише дві змінні, то в таблиці має бути чотири рядки. Кількість колонок у таблиці дорівнює сумі числа змінних та числа логічних спілок, що входять до формули. У формулі дві змінних і чотири логічних союзи (?, ?, ¬, >), отже, в таблиці має бути шість колонок. Перші дві колонки є всі можливі набори істиннісних значень змінних (таких наборів всього чотири: обидві змінні істинні; перша змінна істинна, а друга хибна; перша змінна хибна, а друга істинна; обидві змінні хибні). Третя колонка - це істинні значення суворої диз'юнкції, які вона приймає в залежності від всіх (чотирьох) наборів істиннісних значень змінних. Четверта колонка – це істинні значення заперечення першого простого висловлювання: ¬ a. П'ята колонка - це істинні значення кон'юнкції, що складається з вищевказаної суворої диз'юнкції і заперечення, і, нарешті, шоста колонка - це істинні значення всієї формули, або імплікації. Ми розбили всю формулу на складові, кожна з яких є двочленним складним судженням, тобто що складається з двох елементів (у попередньому параграфі говорилося про те, що заперечення також є двочленним складним судженням):

У чотирьох останніх колонках таблиці представлені істинні значення кожного з цих двочленних складних суджень, що утворюють формулу. Спочатку заповнимо третю колонку таблиці. Для цього нам треба повернутися до попереднього параграфу, де було представлено таблицю істинності складних суджень ( див. табл. 6), яка у разі буде нам базисної (як таблиця множення у математиці). У цій таблиці бачимо, що сувора диз'юнкція хибна, коли обидві її частини істинні чи обидві хибні; коли одна її частина істинна, іншу хибна, тоді сувора диз'юнкція істинна. Тому значення суворої диз'юнкції в таблиці, що заповнюється (згори вниз) такі: «хибно», «істинно», «істинно», «хибно». Далі заповнимо четверту колонку таблиці: ¬ а: коли твердження двічі істинно і двічі хибно, тоді заперечення ¬ а, навпаки, двічі хибно й двічі істинно. П'ята колонка – це кон'юнкція. Знаючи істинні значення суворої диз'юнкції і заперечення, ми можемо встановити істинні значення кон'юнкції, яка істинна тільки тоді, коли істинні всі входять до неї елементи. Сувора диз'юнкція і заперечення, що утворюють цю кон'юнкцію, одночасно істинні тільки в одному випадку, отже кон'юнкція один раз набуває значення "істинно", а в інших випадках - "хибно". Нарешті, треба заповнити останню колонку: для імплікації, яка і представлятиме істинні значення всієї формули. Повертаючись до базисної таблиці істинності складних суджень, пригадаємо, що імплікація хибна лише одному випадку: коли її основа істинно, а наслідок хибно. Підставою нашої імплікації є кон'юнкція, представлена ​​у п'ятій колонці таблиці, а наслідком просте судження ( b), представлене у другій колонці. Деяка незручність в даному випадку полягає в тому, що ліворуч право слідство йде раніше підстави, проте ми завжди можемо подумки поміняти їх місцями. У першому випадку (перший рядок таблиці, крім «шапки») підстава імплікації хибно, а наслідок істинно, отже, імплікація істинна. У другий випадок і підстава, і слідство помилкові, отже, імплікація істинна. У третьому випадку і підстава, і слідство істинні, отже, імплікація є істинною. У четвертому випадку, як і в другому, і основа, і слідство хибні, отже, імплікація є істинною.

Розглянута формула набуває значення «істинно» при всіх наборах істиннісних значень змінних, що входять до неї, отже, вона є тотожно-істинною, а міркування, формалізацією якого вона виступає, логічно бездоганно.

Розглянемо ще один приклад. Потрібно формалізувати таке міркування і встановити, до якого виду відноситься формула, що виражає його: « Якщо будь-яка будівля є старою, то вона потребує капітального ремонту. Ця будівля потребує капітального ремонту. Отже, ця будівля стара». Виділимо прості висловлювання, що входять до цієї міркування: «Який будинок є старим», «Який будинок потребує капітального ремонту». Перша частина міркування є імплікацією: a > b, цих простих висловлювань (перше є її основою, а друге – наслідком). Далі, до імплікації приєднується затвердження другого простого висловлювання, і виходить кон'юнкція: ( a > b) ? b. І нарешті, з цієї кон'юнкції випливає твердження першого простого висловлювання, і виходить нова імплікація: (( a > b) ? b) > aяка є результатом формалізації аналізованого міркування. Щоб визначити вид формули, що вийшла, складемо табл. 8 її істинності.

У формулі дві змінні, отже, у таблиці буде чотири рядки; також у формулі три союзи (>, ?, >), отже, у таблиці буде п'ять колонок. Перші дві колонки – це істинні значення змінних. Третя колонка – істинні значення імплікації.

Четверта колонка – істинні значення кон'юнкції. П'ята, остання колонка – істинні значення всієї формули – підсумкової імплікації. Таким чином, ми розбили формулу на три складові частини, що є двочленними складними міркуваннями:

Заповнимо послідовно три останні колонки таблиці за тим самим принципом, що і в попередньому прикладі, тобто спираючись на базову таблицю істинності складних суджень (див. табл. 6).

Розглянута формула приймає як значення «істинно», так і значення «хибно» при різних наборах істиннісних значень змінних, що входять до неї, отже, вона є здійсненною (нейтральною), а міркування, формалізацією якого вона виступає, логічно коректно, але небездоганно: при іншому зміст міркування така форма його побудови могла б призвести до помилки, наприклад: « Якщо слово стоїть на початку речення, воно пишеться з великої літери. Слово "Москва" завжди пишеться з великої літери. Отже, слово «Москва» завжди стоїть на початку речення».

1. Що таке формалізація висловлювання чи міркування? Придумайте якесь міркування і здійсніть його формалізацію.

2. Формалізуйте такі міркування:

1) Якщо якась речовина є металом, то вона електропровідна. Мідь є металом. Отже, мідь електропровідна.

2) Відомий англійський філософ Френсіс Бекон жив у XVII ст., або в XV ст., або в XIII ст. Френсіс Бекон жив у XVII ст. Отже, він не жив ні в XV ст., ні в XIII ст.

3) Якщо ти не впертий, то ти можеш змінити свою думку. Якщо ж ти можеш змінити свою думку, то ти здатний визнати цю думку помилковим. Отже, якщо ти не впертий, то ти здатний визнати цю думку помилковим.

4) Якщо сума внутрішніх кутів геометричної фігури дорівнює 180°, така фігура є трикутником. Сума внутрішніх кутів даної геометричної фігури не дорівнює 180 °. Отже, ця геометрична фігура не є трикутником.

5) Ліси бувають хвойними, або листяними, або змішаними. Цей ліс не листяний і хвойний. Отже, цей ліс змішаний.

3. Що являють собою тотожно-справжні тотожно-хибні та здійсненні формули? Що можна сказати про міркування, якщо результатом його формалізації є тотожно-справжня формула? Яким буде міркування, якщо його формалізація виражається тотожно-хибною формулою? Які, з погляду логічної вірності, міркування, які за формалізації призводять до здійсненним формулам?

4. Як можна визначити вид тієї чи іншої формули, що виражає собою результат формалізації деякого міркування?

За яким алгоритмом будуються та заповнюються таблиці істинності для логічних формул? Придумайте якесь міркування, формалізуйте його і за допомогою таблиці істинності визначте вид формули, що вийшла.

Питання дуже близьке до судження. Це в тому, що будь-яке судження можна як відповідь якесь питання.

Тому питання можна характеризувати як логічну форму, яка ніби передує судженню, що є свого роду «передбаченням». Отже, питання – це логічна форма (конструкція), спрямовану отримання відповіді як деякого судження.

Питання поділяються на дослідні та інформаційні.

Дослідницькіпитання спрямовані на здобуття нового знання. Це питання, на які поки що немає відповідей. Наприклад, питання: « Як народився Всесвіт?»- є дослідницьким.

Інформаційніпитання мають на меті придбання (передачу від однієї особи іншій) вже наявних знань (інформації). Наприклад, питання: « Яка температура плавлення свинцю?»- є інформаційним.

Питання також поділяються на категоріальні та пропозиційні.

Категоріальні (заповнюючі, спеціальні) питання включають запитальні слова «хто», «що», «де», «коли», «чому», «як» тощо, що вказують напрямок пошуку відповідей і, відповідно, категорію об'єктів, властивостей або явищ , у якій слід шукати відповіді.

Пропозиційні(Від лат. propositio- Судження, пропозиція) ( уточнюючі, загальні) питання, які також часто називають, спрямовані на підтвердження чи заперечення певної вже наявної інформації. У цих питаннях відповідь як би вже закладена у вигляді готового судження, яке треба лише підтвердити чи відкинути. Наприклад, питання: « Хто створив періодичну систему хімічних елементів?- є категоріальним, а питання: Чи корисне вивчення математики?»- Пропозиційним.

Зрозуміло, як і дослідні, і інформаційні питання може бути як категоріальними, і пропозициональными. Можна було б висловитись навпаки: і категоріальні, і пропозиційні питання можуть бути як дослідницькими, так і інформаційними. Наприклад: « Як створити універсальний доказ теореми Ферма?» – дослідничне категоріальне питання:

« Чи є у Всесвіті планети, населені, як і Земля, розумними істотами?» – дослідницьке пропозиційне питання:

« Коли виникла логіка?- інформаційне категоріальне питання: Чи правильно, що число ? - Це відношення довжини кола до її діаметру?» – інформаційне пропозиційне питання.

Будь-яке питання має певну структуру, що складається із двох частин. Перша частина є певну інформацію (виражену, зазвичай, яким-небудь судженням), а друга частина свідчить про її недостатність і її доповнення яким-небудь відповіддю. Перша частина називається Основний (Базисний)(її також іноді називають передумовою питання), а друга частина – шуканої. Наприклад, в інформаційному категоріальному питанні: « Коли було створено теорію електромагнітного поля?» - Основна (базова) частина - це ствердне судження: « Було створено теорію електромагнітного поля», - а шукана частина, подана запитальним словом « коли», вказує на недостатність інформації, що міститься в базовій частині питання, та вимагає її доповнення, яке слід шукати в галузі (категорії) тимчасових явищ. У дослідницькому пропозиційному питанні: « Чи можливі польоти землян в інші галактики?», - Основна (базова) частина представлена ​​судженням: « Можливі польоти землян в інші галактики», - а шукана частина, виражена часткою « чи», вказує на необхідність підтвердження чи заперечення цього судження. В даному випадку шукана частина питання свідчить не про відсутність якоїсь інформації, що міститься в його базисній частині, а про відсутність знання про її істинність чи хибність і вимагає це знання отримати.

Найважливіша логічна вимога до постановки питання у тому, щоб його основна (базисна) частина була справжнім судженням. І тут питання вважається логічно коректним. Якщо ж основна частина питання є хибним судженням, то питання слід визнати логічно некоректним. Подібні питання не вимагають відповіді та підлягають відкидання.

Наприклад, питання: « Коли було здійснено першу навколосвітню подорож?»- є логічно коректним, оскільки його основна частина виражена справжнім судженням: « В історії людства мала місце перша навколосвітня подорож». Запитання: « Якого року знаменитий англійський вчений Ісаак Ньютон закінчив роботу над загальною теорією відносності?» - Логічно некоректний, тому що його основна частина представлена ​​хибним судженням: « Автором загальної теорії відносності є знаменитий англійський вчений Ісаак Ньютон».

Отже, основна (базисна частина) питання має бути істинною і не повинна бути хибною. Проте існують логічно коректні питання, основні частини яких є хибними судженнями. Наприклад, питання: «Чи можливе створення вічного двигуна?», «Чи є розумне життя на Марсі?», «Чи винайде машину часу?»- безсумнівно, слід визнати логічно коректними, незважаючи на те, що їхні базисні частини є хибними міркуваннями: « . Річ у тім, що частини цих питань спрямовані на з'ясування істиннісних значень їх основних, базисних частин, т. е. потрібно з'ясувати, істинними чи хибними є судження: « Можливе створення вічного двигуна», «Є розумне життя на Марсі», «Винайдуть машину часу». І тут питання логічно коректні. Якби шукані частини аналізованих питань були спрямовані з'ясування істинності їх основних частин, а мали б своєю метою щось інше, ці питання були б логічно некоректними, наприклад: « Де було створено перший вічний двигун?», «Коли з'явилося розумне життя на Марсі?», «Скільки коштуватиме подорож на машині часу?». Таким чином, головне правило постановки питання слід розширити та уточнити: основна (базова) частина коректного питання має бути справжнім судженням; якщо вона є хибним судженням, його шукана частина має бути спрямовано з'ясування істиннісного значення основний частини; інакше питання буде логічно некоректним. Неважко здогадатися, що вимога для основної частини бути істинною, переважно, відноситься до категоріальних питань, а вимога того, щоб частина, яка шукається, була з'ясуванням істинності основної частини, відноситься до пропозиційних питань.

Слід зазначити, що коректні категоріальні та пропозиційні питання подібні між собою у цьому, що у них завжди можна дати справжню відповідь (як, втім, і хибний). Наприклад, на категоріальне питання: « Коли скінчилася перша світова війна?» - Можна дати як істинну відповідь: « У 1918 р.», - Так і хибний: « У 1916 р.». На запитання: « Чи обертається Земля навколо Сонця?»- Також можна дати як істинний: « Так, обертається», - Так і хибний: « Ні, не обертається», - Відповідь. Обидва наведені питання логічно коректні. Отже, важлива можливість отримання істинних відповідей є основною ознакою коректних питань. Якщо ж отримати справжні відповіді деякі питання принципово неможливо, всі вони є некоректними. Наприклад, не можна отримати справжню відповідь на пропозиційне питання: « Чи закінчиться колись перша світова війна?- так само, як неможливо отримати його на категоріальне питання: З якою швидкістю обертається Сонце довкола нерухомої Землі?».

Будь-які відповіді на ці запитання необхідно буде визнати незадовільними, а самі питання – логічно некоректними, які підлягають відкидання.

1. Що таке питання? У чому полягає близькість питання та судження?

2. Чим відрізняються дослідницькі питання інформаційних? Наведіть по п'ять прикладів дослідних та інформаційних питань.

3. Що являють собою категоріальні та пропозиційні питання? Наведіть по п'ять прикладів категоріальних та пропозиційних питань.

4. Охарактеризуйте наведені нижче питання з точки зору їх приналежності до дослідницьких чи інформаційних, а також – категоріальних або пропозиційних:

1) Коли було відкрито закон всесвітнього тяжіння?

2) Чи жителі Землі зможуть розселитися на інших планетах Сонячної системи?

3) Якого року народився Бонапарт Наполеон?

4) Яким є майбутнє людства?

5) Чи можливо запобігти третій світовій війні?

5. Яка логічна структура питання? Наведіть приклад категоріального дослідницького питання та виділіть у ньому основну (базисну) та шукану частини. Зробіть те саме з категоріальним інформаційним питанням, пропозиційним дослідницьким питанням та пропозиційним інформаційним питанням.

6. Які питання є логічно коректними, а які некоректними? Наведіть по п'ять прикладів логічно коректних та некоректних питань. Чи може бути у логічно коректного питання хибна основна частина? Чи достатньо визначення коректного питання вимоги істинності його основної частини?

Що поєднує логічно коректні категоріальні та пропозиційні питання?

7. Дайте відповідь, які з нижченаведених питань є логічно коректними, а які некоректними:

1) Скільки разів планета Юпітер перевершує за розмірами Сонце?

2) Якою є площа Тихого океану?

3) У якому році Володимир Володимирович Маяковський написав поему «Хмара у штанах»?

4) Як довго тривала плідна спільна наукова праця Ісака Ньютона та Альберта Ейнштейна?

5) Чому дорівнює довжина екватора земної кулі?